动态规划

Posted 2020-08-04 mahaitao617

首先从我刷的一个题开始讲。题目如下：

Given s1, s2, s3, find whether s3 is formed by the interleaving of s1 and s2.

For example,
Given:
s1 ="aabcc",
s2 ="dbbca",

When s3 ="aadbbcbcac", return true.
When s3 ="aadbbbaccc", return false.

动态规划（ dynamic programming ）算法是解决多阶段决策过程最优化问题的一种常用方法，难度比较大，技巧性也很强。利用动态规划算法，可以优雅而高效地解决很多贪婪算法或分治算法不能解 决的问题。动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的 子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决 策的结果，与贪婪算法不同的是，在贪婪算法中，每采用一次贪婪准则，便做出一个不可撤回的决策；而在动态规划算法中，还要考察每个最优决策序列中是否包含 一个最优决策子序列，即问题是否具有最优子结构性质。

    动态规划算法的有效性依赖于待求解问题本身具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。

1 、最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。

2 、子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算 法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简 单地查看一下结果，从而获得较高的解题效率。

当我们已经确定待解决的问题需要用动态规划算法求解时，通常可以按照以下步骤设计动态规划算法：

1 、分析问题的最优解，找出最优解的性质，并刻画其结构特征；

2 、递归地定义最优值；

3 、采用自底向上的方式计算问题的最优值；

4 、根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

1 ～ 3 步是动态规划算法解决问题的基本步骤，在只需要计算最优值的问题中，完成这三个基本步骤就可以了。如果问题需要构造最优解，还要执行第 4 步； 此时，在第 3 步通常需要记录更多的信息，以便在步骤 4 中，有足够的信息快速地构造出最优解。

根据这些可以推断这个题分三种情况，字符串1的i位和字符串2的j位和字符串3的i+j位都相同，字符串1的i位和字符串3的i+j位相同，字符串2的j位和字符串3的i+j位相同。分别对应三种状态。

dp[i][j]=dp[i-1][j] | dp[i][j-1];dp[i][j]=dp[i-1][j];dp[i][j]=dp[i][j-1];//其中dp[i][j]表示字符串1前i个字符和字符串2前j个字符构成的字符串

bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) 
{
    int len1 = s1.size();
    int len2 = s2.size();
    int len3 = s3.size();
    if (len1 + len2 != len3)return false;
    vector<vector<bool>>dp(len1+1,vector<bool>(len2+1,false));
    dp[0][0] = true;
    for (int i = 1; i <=len1; ++i)
    {
        if (s1[i - 1] == s3[i - 1])dp[i][0] = dp[i-1][0];
    }
    for (int i = 1; i <= len2; ++i)
    {
        if (s2[i - 1] == s3[i - 1])dp[0][i] = dp[0][i-1];
    }
    for (int i = 1; i <=len1; i++)
    {
        for (int j = 1; j <=len2; j++)
        {
            if (s1[i - 1] == s2[j - 1] && s1[i - 1] == s3[i + j - 1])
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i][j - 1];
            }
            if (s1[i - 1] == s3[i + j - 1])
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
            else if (s2[j - 1] == s3[i + j - 1])
            {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
    }
    return dp[len1][len2];
}