2020.4.12 Solution
首先发掘几个性质:
-
\\(99\\) 个点可以分成 \\(33\\) 组,每组中个\\(3\\) 个点组成等边三角形。两两端点相差 \\(33\\) 条弧。
-
任意状态下,已经染完色的点是连续的链,并且上次染的色一定是左右两个端点(只能染相邻的)
-
奇数次操作是甲操作的,偶数次操作是乙操作的。(显然)
然后考虑是否能让乙无论如何都能构造出一个等色等边三角形出来。
考虑当第 \\(34\\) 步时,左端点和右端点距离\\(33\\)段弧,与他们同时相距 \\(33\\) 步的点 \\(z\\),可以构成一个等边三角形。因为偶数步是乙操作的,所以乙必然能使左右端点颜色一致(他染的跟之前的一致即可)。
然后问题就变成了乙是否能顺利染到点 \\(z\\)。
考虑当前到左右端点到点 \\(z\\) 是两条长度为 \\(33\\) 路,所以问题转化为了:
- 两个变量 \\((x, y)\\),初始都是 \\(0\\)
- 甲先操作,乙后操作。两个人轮流可以让 \\(x\\) 或 \\(y\\) 中的其一 \\(+1\\)
- 问乙是否能先加到 \\(33\\)(他操作完之后)
然后我们发现是必然的。
首先甲操作第一步状态肯定变成 \\((0, 1)\\)(剩下是对称的)
然后乙变成这样 \\((1, 1)\\)。
第二步状态肯定变成 \\((2, 1)\\)(剩下是对称的)
然后乙变成这样 \\((2, 2)\\)。
以此类推,每次乙都操作甲没操作的那边,让 \\(x = y\\)。
因为每轮过后 \\(x + 1, y + 1\\)。
当甲迫不得已让 \\(x, y\\) 中的一个变成 \\(32\\) 后,乙恶人先出手,直接把他加到 \\(33\\) 即可。
(这是一种猥琐的思想,简称敌不动我不动)