Edmonds_Karp 算法入门详解(转)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Edmonds_Karp 算法入门详解(转)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  转载自:http://blog.csdn.net/hsqlsd/article/details/7862903

  有n个点,有m条有向边,有一个点很特殊,只出不进,叫做源点,通常规定为1号点。另一个点也很特殊,只进不出,叫做汇点,通常规定为n号点。每条有向边上有两个量,容量和流量,从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。通常可以把这些边想象成道路,流量就是这条道路的车流量,容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的,流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说,可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站,所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。

       把源点比作工厂的话,问题就是求从工厂最大可以发出多少货物,是不至于超过道路的容量限制,也就是,最大流。

       比如这个图。每条边旁边的数字表示它的容量。

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   首先,假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量),那么就把这一组流量,或者说,这个流,称为一个可行流。一个最简单的例子就是,零流,即所有的流量都是0的流。

我们就从这个零流开始考虑,假如有这么一条路,这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点,并且,这条路上的每一段都满足流量<容量,注意,是严格的<,而不是<=。那么,我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta,一定可以保证这个流依然是可行流,这是显然的。

    这样我们就得到了一个更大的流,他的流量是之前的流量+delta,而这条路就叫做增广路。

    我们不断地从起点开始寻找增广路,每次都对其进行增广,直到源点和汇点不连通,也就是找不到增广路为止。当找不到增广路的时候,当前的流量就是最大流,这个结论非常重要。

寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做bfs,并不断修改这条路上的delta量,直到找到源点或者找不到增广路。

这里要先补充一点,在程序实现的时候,我们通常只是用一个c数组来记录容量,而不记录流量,当流量+1的时候,我们可以通过容量-1来实现,以方便程序的实现。

 

但事实上并没有这么简单,上面所说的增广路还不完整,比如说下面这个网络流模型。

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我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路,这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。(图中的数字是容量)

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这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了,我们再也找不到其他的增广路了,当前的流量是1。

但这个答案明显不是最大流,因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4,这样可以得到流量为2的流。

那么我们刚刚的算法问题在哪里呢?问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会,应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢?回溯搜索吗?那么我们的效率就上升到指数级了。

而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i),反向边也同样有它的容量。

我们直接来看它是如何解决的:

 

在第一次找到增广路之后,在把路上每一段的容量减少delta的同时,也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同时,inc(c[y,x],delta)

我们来看刚才的例子,在找到1-2-3-4这条增广路之后,把容量修改成如下

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这时再找增广路的时候,就会找到1-3-2-4这条可增广量,即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后,得到了最大流2。

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那么,这么做为什么会是对的呢?

 

事实上,当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候,就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去,不走2-3这条路,而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。(有人问如果这里没有2-4怎么办,这时假如没有2-4这条路的话,最终这条增广路也不会存在,因为他根本不能走到汇点)同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1,反向流量1,等于没有流量。

这就是这个算法的精华部分,利用反向边,使程序有了一个后悔和改正的机会。

 

附Edmonds_Karp算法模板

#define maxn 220  
#define INF 0x7f7f7f7f  
int cap[maxn][maxn],flow[maxn][maxn];  
int pre[maxn],res[maxn];//res[i] 残量  
int Edmonds_Karp(int start,int end)  
{  
    int maxflow=0;  
    memset(flow,0,sizeof(flow));  
    memset(pre,0,sizeof(pre));  
    queue<int> q;  
    while(true)  
    {  
        memset(res,0,sizeof(res));  
        res[start]=INF;  
        q.push(start);  
        while(!q.empty()) //BFS寻找增广路  
        {  
            int u=q.front();  
            q.pop();  
            for(int v=1;v<=end;v++)  
                if(!res[v]&&cap[u][v]>flow[u][v])  
                {  
                    res[v]=min(res[u],cap[u][v]-flow[u][v]);//start-v路径上的最小残量  
                    //记录v的父亲,并加入队列中  
                    pre[v]=u;  
                    q.push(v);  
                }  
        }  
        if(res[end]==0) return maxflow;//无法继续更新最大流量,则当前流已经是最大流  
        for(int u=end;u!=start;u=pre[u])//从汇点往回走  
        {  
            flow[pre[u]][u]+=res[end];//更新正向流  
            flow[u][pre[u]]-=res[end];//更新反向流  
        }  
        maxflow+=res[end]; //更新从s流出的总流量  
    }  
}  
int main()  
{  
    //  
    memset(cap,0,sizeof(cap));  
    //  
    for(/**/)  
    {  
        int u,v,s;  
        scanf("%d %d %d",&u,&v,&s);  
        cap[u][v]+=s;//要考虑到重边问题  
    }  
    //  
    return 0;  
}  

 

 

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