八皇后问题的两个高效的算法（回溯与递归）

Posted 2021-03-09 kanna

序言

八皇后问题是一个经典的问题，在一个N*N的棋盘上放置N个皇后，每行一个并使其不能互相攻击（同一行、同一列、同一斜线上的皇后都会自动攻击）。

求解八皇后问题是算法中回溯法应用的一个经典案例

       回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。

      在现实中，有很多问题往往需要我们把其所有可能穷举出来，然后从中找出满足某种要求的可能或最优的情况，从而得到整个问题的解。回溯算法就是解决这种问题的“通用算法”，有“万能算法”之称。N皇后问题在N增大时就是这样一个解空间很大的问题，所以比较适合用这种方法求解。这也是N皇后问题的传统解法，很经典。

      下面是算法的高级伪码描述，这里用一个N*N的矩阵来存储棋盘：

      1) 算法开始, 清空棋盘，当前行设为第一行，当前列设为第一列

      2) 在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后)，若不满足，跳到第4步

      3) 在当前位置上满足条件的情形：

                 在当前位置放一个皇后，若当前行是最后一行，记录一个解；

                 若当前行不是最后一行，当前行设为下一行, 当前列设为当前行的第一个待测位置；

                 若当前行是最后一行，当前列不是最后一列，当前列设为下一列；

                 若当前行是最后一行，当前列是最后一列，回溯，即清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置；

                以上返回到第2步

      4) 在当前位置上不满足条件的情形：

                若当前列不是最后一列，当前列设为下一列，返回到第2步;

                若当前列是最后一列了，回溯，即，若当前行已经是第一行了，算法退出，否则，清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置，返回到第2步; 

        算法的基本原理是上面这个样子，但不同的是用的数据结构不同，检查某个位置是否满足条件的方法也不同。为了提高效率，有各种优化策略，如多线程，多分配内存表示棋盘等。

 

使用递归时的核心算法

//放置皇后到棋盘上
void place(int k, int n)
{
    int j;
    if (k > n)
        print(n); //递归出口
    else
        for (j = 1; j <= n; j++)   //试探第k行的每一个列
            if (find(k, j))
            {
                q[k] = j;   //保存位置
                place(k + 1, n);  //接着下一行
            }
}

回溯算法的核心算法

void eight_queen(int line) {
    //在数组中为0-7列
    for (int list = 0; list < 8; list++) {
        //对于固定的行列，检查是否和之前的皇后位置冲突
        if (Check(line, list)) {
            //不冲突，以行为下标的数组位置记录列数
            Queenes[line] = list;
            //如果最后一样也不冲突，证明为一个正确的摆法
            if (line == 7) {
                //统计摆法的Counts加1
                Counts++;
                //输出这个摆法
                print();
                //每次成功，都要将数组重归为0
                Queenes[line] = 0;
                return;
            }
            //继续判断下一样皇后的摆法，递归
            eight_queen(line + 1);
            //不管成功失败，该位置都要重新归0，以便重复使用。
            Queenes[line] = 0;
        }
    }
}

八个皇后在8x8棋盘上共有4,426,165,368（64C8）种摆放方法，但只有92个互不相同的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话，则一共有12个独立解，具体如下：

 

 

 

完整代码：

/*
递归法实现
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
?
const int N = 20;   //最多放皇后的个数
int q[N];         //i表示皇后所在的行号，
                  //q[i]表示皇后所在的列号
int cont = 0;     //统计解的个数
//输出一个解
void print(int n)
{
    int i, j;
    cont++;
    printf("第%d个解：", cont);
    for (i = 1; i <= n; i++)
        printf("(%d,%d) ", i, q[i]);
    printf("
");
    for (i = 1; i <= n; i++)        //行
    {
        for (j = 1; j <= n; j++)    //列
        {
            if (q[i] != j)
                printf("x ");
            else
                printf("Q ");
        }
        printf("
");
    }
}
//检验第i行的k列上是否可以摆放皇后
int find(int i, int k)
{
    int j = 1;
    while (j < i)  //j=1~i-1是已经放置了皇后的行
    {
        //第j行的皇后是否在k列或(j,q[j])与(i,k)是否在斜线上
        if (q[j] == k || abs(j - i) == abs(q[j] - k))
            return 0;
        j++;
    }
    return 1;
}
//放置皇后到棋盘上
void place(int k, int n)
{
    int j;
    if (k > n)
        print(n); //递归出口
    else
        for (j = 1; j <= n; j++)   //试探第k行的每一个列
            if (find(k, j))
            {
                q[k] = j;   //保存位置
                place(k + 1, n);  //接着下一行
            }
}
int main(void)
{
    int n;
    printf("请输入皇后的个数(n<=20),n=:");
    scanf("%d", &n);
    if (n > 20)
        printf("n值太大，不能求解!
");
    else
    {
        printf("%d皇后问题求解如下(每列的皇后所在的行数):
", n);
        place(1, n);        //问题从最初状态解起
        printf("
");
    }
    system("pause");
    return 0;
}
?

/*
回溯法实现
*/
#include <stdio.h>
int Queenes[8] = { 0 }, Counts = 0;
int Check(int line, int list) {
    //遍历该行之前的所有行
    for (int index = 0; index < line; index++) {
        //挨个取出前面行中皇后所在位置的列坐标
        int data = Queenes[index];
        //如果在同一列，该位置不能放
        if (list == data) {
            return 0;
        }
        //如果当前位置的斜上方有皇后，在一条斜线上，也不行
        if ((index + data) == (line + list)) {
            return 0;
        }   
        //如果当前位置的斜下方有皇后，在一条斜线上，也不行
        if ((index - data) == (line - list)) {
            return 0;
        }
    }
    //如果以上情况都不是，当前位置就可以放皇后
    return 1;
}
//输出语句
void print()
{
    for (int line = 0; line < 8; line++)
    {
        int list;
        for (list = 0; list < Queenes[line]; list++)
            printf("0");
        printf("#");
        for (list = Queenes[line] + 1; list < 8; list++) {
            printf("0");
        }
        printf("
");
    }
    printf("================
");
}
void eight_queen(int line) {
    //在数组中为0-7列
    for (int list = 0; list < 8; list++) {
        //对于固定的行列，检查是否和之前的皇后位置冲突
        if (Check(line, list)) {
            //不冲突，以行为下标的数组位置记录列数
            Queenes[line] = list;
            //如果最后一样也不冲突，证明为一个正确的摆法
            if (line == 7) {
                //统计摆法的Counts加1
                Counts++;
                //输出这个摆法
                print();
                //每次成功，都要将数组重归为0
                Queenes[line] = 0;
                return;
            }
            //继续判断下一样皇后的摆法，递归
            eight_queen(line + 1);
            //不管成功失败，该位置都要重新归0，以便重复使用。
            Queenes[line] = 0;
        }
    }
}
int main() {
    //调用回溯函数，参数0表示从棋盘的第一行开始判断
    eight_queen(0);
    printf("摆放的方式有%d种", Counts);
    return 0;
}