215. 数组中的第K个最大元素（TOP-K问题）

Posted 2021-03-09 Zy

问题：

在未排序的数组中找到第 k 个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。

示例 1:

输入: [3,2,1,5,6,4] 和 k = 2
输出: 5
示例 2:

输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6] 和 k = 4
输出: 4
说明:

你可以假设 k 总是有效的，且 1 ≤ k ≤ 数组的长度。

 

解答：

这道题属于一个很经典的问题，即求数据集中的最大第k个或者最小的前k个之类。

常规方法有以下几种：

1.排序：

O(n logn)。

2.堆（该方法尤其适用于海量数据，因为内存中只需要维护k大小的堆，其他方法需要把海量数据全部移到内存中进行操作）：

O(n log k)

用一个大小为k的堆，如果是求第k大，那么我们使用最小堆（为什么是最小堆看不懂没关系，这就说）。比如一个数据集有n个元素，假设我们（神奇的提前知道了！）最大的几个元素依次是x1，x2，x3，且x1、x2、x3都分布在数据集的后半部（假设n很大），而且k为3，即我们想求的就是x3。

步骤：

我们定义一个长度3的容器heap，先放入前3个数据，建立最小堆。然后我们从第4个元素开始遍历，每次遍历到一个元素nums[i]，如果nums[i]>heap.top()，那么我们就pop掉当前的堆顶，并放入nums[i]，重新维护最小堆性质。遍历完毕之后，最小堆的堆顶就是我们要求的数。

解释：

重申一次，我们想找的TOP-K，在本问题中就是前3大的数字。由于最小堆的堆顶是整个堆里最小的数字，所以如果有其他数字比这个堆顶大，说明这个堆顶一定不在最终的前3大数字里，所以我们理所当然的用当前数字去替换当前堆顶。

由于我们已经知道了x1、x2、x3是最大的三个数，遍历到他们时一定都有x1/x2/x3大于当时各自的堆顶从而push进堆，并且不可能有第4个数字比他们三个大从而把他们三个踢出堆。故最终堆里的三个数字就是x1、x2、x3，而且堆顶是三个数中最小的那个（x3），也就是我们想要的第3大的数。

时间复杂度为n logk，遍历n个元素，每次调整堆需要logk时间，在k比n小的情况下，比第一种排序算法节省大量时间。

容易理解，如果求第k小，那么我们对应的使用最大堆，解法完全一样。

代码：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) 
 4     {
 5         priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >min_heap;
 6         for(int num:nums)
 7         {
 8             min_heap.push(num);
 9             if(min_heap.size()>k)
10             {
11                 min_heap.pop();
12             }
13         }
14         return min_heap.top();
15     }
16 };

 

 

3.划分（partition）：

O(n)，将数组划分为左右两部分，如果中枢轴右侧元素大于k个，那对右侧区间继续划分，否则对左侧区间进行划分。

和快排的区别在于，快排划分之后，分别对左右子区间递归划分，时间是n+2*n/2+4*n/4+...=O(n logn)

该算法只会对一侧子区间进行递归划分，时间为n+n/2+n/4+n/8+...=O(n)

注意在取基准数的时候一定要随机化处理，否则时间效率会大大增加！

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) 
 4     {
 5         srand(time(0));
 6         return partition(nums,0,nums.size()-1,k);
 7     }
 8     int partition(vector<int>& nums,int le,int ri,int k){
 9         if(le>=ri){
10             return k==1?nums[le]:-1;
11         }
12         int random_pos=rand()%(ri-le);
13         swap(nums[le+random_pos],nums[ri]);//随机化基准数，基准数为nums[ri]
14         int i=le-1,j=le,stable=nums[ri];
15         while(j<ri){
16             if(nums[j]<stable){
17                 swap(nums[++i],nums[j]);
18             }
19             ++j;
20         }
21         swap(nums[i+1],nums[ri]);
22         //i+1为划分枢轴
23         if(ri-i==k){
24             return nums[i+1];
25         }
26         else if(ri-i>k){
27             return partition(nums,i+2,ri,k);
28         }
29         else{
30             return partition(nums,le,i,k-ri+i);
31         }
32     }
33 };

基准数不加随机化：

 

 

基准数加随机化：