树形背包总结

Posted 2020-08-03 Pat

最近两天为树形背包问题所困扰。 这一切的起因是一年前在hackerrank上做的一道题 A Knapsack Problem。

题目大意是:

$给一棵N个节点的树，节点i代表一件价值为v[i]，体积为s[i]的物品。另有一个体积为M的背包，要求在树上选一个连通块装进背包，\\使得所选物品的总价值最大。$

数据范围:

$N, M\le2000$

朴素的做法复杂度是$O(NM^2)$，TLE。一直没看editorial，拖到现在。做这题之前我已看过崔添翼的《背包九讲，期间又读了2009年国家集训队徐持衡的论文《浅谈几类背包问题》，徐的论文中提到树形依赖背包问题有O(NM)解法，我很高兴，然而看了以后并不能懂。最近又想起这道题，再去翻徐的论文，折腾了两天，才发现:

• 徐的论文讲的比较简略，确实有点难懂
• 徐所讨论的树形依赖背包问题和A Knapsack Problem根本不是同一个问题

徐论文中所谓的树形依赖背包问题指的是：

$给一棵N个节点的有根树，树的每个节点代表一件价值为v[i]，体积为s[i]的物品。另有一个体积为M的背包，要求在树上选一个包含根节点的连通块装进背包，\\使得所选物品的总价值最大。$

 然而明确了这一点以后，我一时还是搞不懂徐持衡对此问题给出的$O(NM)$的树形DP解法。又花了些功夫才基本弄懂：

$dp[i][j]表示选择了节点i及其所有祖先节点（即根节点到i的路径\text{---}记做P_i\text{---} 上的所有节点），\\此外再在P_i的左侧和子树i中选择总体积不超过j的物品的最大价值。$