因数个数上界的估计

Posted 2020-11-25 whx1003

最近做了很多有关整数因数分解的题，每次开因数数组时总是纠结于其大小。而网上比较好的成果（我能找到的）是对于整数 \(n\)，其因数个数 \(r(n)<\sqrt{n}\)，当 \(n>1260\)，所以我通过推导和实验（其实是估计不下去了）稍微改善了成果。

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记号 我们记正整数 \(n\) 的素因子个数（包含重复的）为 \(s(n)\)，因子个数为 \(r(n)\)。

引理 \[s(n)\leq\log_2n,\forall n \in \mathbb{N*}\]

证明 不妨假定 \(n = \prod_{i=1}^m p_i^{k_i}\)，其中 \(p_i\) 为互不相同的素数。我们有 \(p_i\geq 2\)，则

\[\log_2 n=\log_2 \prod_{i=1}^m p_i^{k_i}\geq\log_2 \prod_{i=1}^m 2^{k_i}=\log_2 2^{\sum_{i=1}^m k_i}=\log_2 2^{s(n)}=s(n)\]

定理 \(r(n)\leq(\frac{\log_2n}{m}+1)^m\)，其中 \(m\) 是一小于 \(\log_2n\) 的整数。

证明 设 \(n\) 有 \(m\) 个质因数，且每个质因数分别有 \(k_1,k_2,\cdots,k_m\) 个，有 \(\sum_{i=1}^m k_i = s(n)\leq\log_2n\)。则 \(r(n)=\prod_{i=1}^m (k_i+1)\)，由几何-算术平均值不等式有

\[r(n)=\prod_{i=1}^m (k_i+1)\leq(\frac{\sum_{i=1}^m (k_i+1)}{m})^m=(\frac{s(n)}{m} + 1)^m\leq(\frac{\log_2n}{m} + 1)^m\]

而 \(f(x)=(\frac{a}{x}+1)^x\) 在 \(\mathbb{R*}\) 上是增函数，所以 \(m\) 越小这个估计就越小。看起来 \(m\) 的上界似乎没什么用，但事实上，由于我们对 \(s(n)\) 的估计很不精确，所以 \(m\) 并不一定是 \(n\) 的不同素因子个数。实验表明，\(m\) 的增长十分缓慢（大约是 \(\log\sqrt{n}\) 级别），取 \(m=3\) 时在 \(10^8\) 以下已经没有超过这个估计的反例了。

本文仅是给出了一个关于上界的粗略估计，没有严格的证明，希望能对读者有所帮助。