剑指Offer-二进制中的1的个数

Posted 2020-11-25 Codeapes

题目

输入一个整数，输出该数二进制表示中1的个数。

必备知识-原码、反码与补码

原码

将最高位作为符号位（以0代表正，1代表负），其余各位代表数值本身的绝对值（以二进制表示）。

如果是8位二进制，则：

+1 的原码为：0000 0001
-1 的原码为：1000 0001

反码

• 正数的反码与原码相同。
• 负数的反码是在其原码的基础上，符号位保持不变，其余各位取反。

如果是8位二进制，则：

+1 的反码为：0000 0001
-1 的反码为：1111 1110

补码

• 正数的补码与原码相同。
• 负数的补码是在其原码的基础上，符号位保持不变，其余各位取反，最后再 +1。

如果是8位二进制，则：

+1 的补码为：0000 0001
-1 的补码为：1111 1111

总结

• 正数的原码、反码与补码是完全相同的，而负数的原码、反码与补码是完全不同的。

• 反码的出现解决了“正负数相加等于 0”的问题。

• 补码的出现解决了“两个零 +0 与 -0 存在”的问题，而且可以将符号位和数值位统一处理，加法与减法也可以统一处理。

解法探析

解法1

首先想到的是将二进制数不断右移，这样的话，该数的每一位都会依次移到最右边，每右移一次就将该数和 1 做位与运算，来计算 1 的个数。（由于 1 最右边的一位是 1，其他位都是 0，如果一个整数与 1 做与运算后，结果是 1，就表示该数最右边一位是 1，否则就是 0）

int NumberOf1(int num)
{
    int count = 0;

    while (num != 0) {
        if ((num & 1) == 1) {
            count++;
        }

        num >>= 1;
    }
    
    return count;
}

上面这种方法没有考虑负数的情况，和正数右移最高位补0不同，负数右移最高位会补1，这样整个数字会变成全1，导致死循环。

解法2

既然右移行不通，会导致死循环，那么可以反过来，将1不断左移，然后和目标数做与运算来求 1 的个数。

int NumberOf1(int num)
{
    int count = 0;
    unsigned int flag = 1;

    while (flag != 0) {
        if ((num & flag) != 0) {
            count++;
        }

        flag <<= 1;
    }

    return count;
}

如计算正数 145 的二进制中 1 的个数：

1001 0001       目标数
0000 0001       1与目标数做与运算得到的最低位是否为1
0000 0010       1左移1位，判断其与目标数做与运算得到的次低位是否为1
0000 0100       1左移2位，判断其与目标数做与运算得到的次次低位是否为1
......

解法3

解法2的时间复杂度为O(num的位数)，num有多少位就要循环多少次。可以利用一个小技巧，降低算法的时间复杂度。

把一个整数减去 1 之后再和原来的整数做位与运算，得到的结果相当于把整数的二进制表示中最右边的 1 变成 0。

那么一个整数的二进制表示中有多少个 1，就是可以进行多少次这样的操作。

int NumberOf1(int num)
{
    int count = 0;

    while (num != 0) {
        ++count;
        num = (num - 1) & num;
    }

    return count;
}

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