一个思考Exlucas时的错误思路和对CRT的一些理解
小引
此文章是记录一些学习 \\(Exlucas\\) 时纠结的问题。
问题的原因是对 \\(CRT\\) 的理解不通彻，在此做出一些探讨。
正文
\\(Exlucas\\) 的模板问题是求：
\\[C^{n}_{m}\\quad(mod\\;p)
\\]
其中， \\(n\\) ， \\(m\\) 很大，不能够直接求阶乘。\\(p\\) 大小可接受但是不保证是质数。
扩展的思路是把 \\(p\\) 进行质因数分解，然后分别模分解后的 \\(p_i^k\\) 再用 \\(CRT\\) 组合起来。
我当时刚刚学完 \\(Lucas\\) 以为扩展是赤裸裸的 \\(CRT+Lucas\\) 就想直接模 \\(p_i\\) 不行吗？
并且陷入了这样一个问题：
给定 \\(x\\) 满足：
\\[\\begin{cases}
x\\equiv a_1\\quad(mod\\;p_1)\\\\
x\\equiv a_2\\quad(mod\\;p_2)\\\\
\\cdots\\\\
x\\equiv a_n\\quad(mod\\;p_n)\\\\
\\end{cases}
\\\\
\\bf 和\\\\
\\rm
\\begin{cases}
x\\equiv b_1\\quad(mod\\;p_1^{k_1})\\\\
x\\equiv b_2\\quad(mod\\;p_2^{k_2})\\\\
\\cdots\\\\
x\\equiv b_n\\quad(mod\\;p_n^{k_n})\\\\
\\end{cases}
\\]
作为前提的 \\(x\\) 是一样的，那么 \\(CRT\\) 为什么解出来的不同的 \\(x\\) 呢。（当时我真的是蠢枯了
现在看来，显而易见，\\(x\\) 不是唯一的，而是以所以模数的公倍数 \\(M\\) 为间隔的无限个数。
我们求出来的是满足条件的最小正整数解。第一个和第二个的解的关联是这样的：
所以，我们用 \\(p_i\\) 那租解出来的和 \\(p_i^{k_i}\\) 那组解出来的不是一个，而且也没法（或者我不知道，但是既然 \\(Exlucas\\) 还存在，那应该是没有）用其中一个还原另外一个。
所以，必须对 \\(p_i^{k_i}\\) 取模，就需要 \\(Exlucas\\) 的那些操作了。
\\(\\frak by\\;thorn\\_\\)