数据结构--AVL树
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构--AVL树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
AVL树是高度平衡的二叉搜索树，较搜索树而言降低了树的高度；时间复杂度减少了使其搜索起来更方便；
1.性质：
（1）左子树和右子树高度之差绝对值不超过1；
（2）树中每个左子树和右子树都必须为AVL树；
（3）每一个节点都有一个平衡因子（-1,0,1：右子树-左子树）
（4）遍历一个二叉搜索树可以得到一个递增的有序序列
2.结构：
平衡二叉树是对二叉搜索树(又称为二叉排序树)的一种改进。二叉搜索树有一个缺点就是，树的结构是无法预料的。任意性非常大。它仅仅与节点的值和插入的顺序有关系。往往得到的是一个不平衡的二叉树。在最坏的情况下。可能得到的是一个单支二叉树，其高度和节点数同样，相当于一个单链表。对其正常的时间复杂度有O(lb n)变成了O(n)。从而丧失了二叉排序树的一些应该有的长处。
当插入一个新的节点的时候。在普通的二叉树中不用考虑树的平衡因子，仅仅要将大于根节点的值插入到右子树，小于节点的值插入到左子树，递归就可以。
而在平衡二叉树则不一样，在插入节点的时候，假设插入节点之后有一个节点的平衡因子要大于2或者小于-2的时候，他须要对其进行调整。如今仅仅考虑插入到节点的左子树部分（右子树与此同样）。主要分为下面三种情况：
(1)若插入前一部分节点的左子树高度和右子树高度相等。即平衡因子为0。插入后平衡因子变为1。仍符合平衡的条件不用调整。
(2)若插入前左子树高度小于右子树高度。即平衡因子为-1，则插入后将使平衡因子变为0，平衡性反倒得到调整，所以不必调整。
(3)若插入前左子树的高度大于右子树高度。即平衡因子为1。则插入左子树之后会使得平衡因子变为2，这种情况下就破坏了平衡二叉树的结构。所以必须对其进行调整，使其加以改善。
调整二叉树首先要明确一个定义。即最小不平衡子树。最小不平衡子树是指以离插入节点近期、且平衡因子绝对值大于1的节点做根的子树。
在构建AVL树的时候使用三叉链：parent,left,right方便回溯，也可以用递归或者栈解决；
在插入一个新节点后，一个平衡二叉树可能失衡，失衡情况下相应的调整方法
（1）右旋
（2）左旋
（3）右左双旋
（4）左右双旋
#include<iostream> using namespace std; template<class K,class V> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode<K ,V>*_left; AVLTreeNode<K ,V>*_right; AVLTreeNode<K ,V>*_parent; K _key; V _value; int _bf;//平衡因子 AVLTreeNode( const K & key,const V& value ):_bf(0) ,_left(NULL) ,_right( NULL) ,_parent( NULL) ,_key( key) ,_value( value) {} }; template<class K,class V> class AVLTree { typedef AVLTreeNode <K,V> Node; protected: Node* _root; public: AVLTree():_root( NULL) {} bool Insert(const K& key,const V& value) { if(_root==NULL ) { _root= new Node (key,value); return true ; } Node* cur=_root; Node* parent=NULL ; while(cur) { if(cur->_key>key ) { parent=cur; cur=cur->_left; } else if (cur->_key<key) { parent=cur; cur=cur->_right; } else { return false ; } } //插入 cur= new Node (key,value); if(parent->_key<key ) { parent->_right=cur; cur->_parent=parent; } else { parent->_left=cur; cur->_parent=parent; } //检查是否平衡 //1更新平衡因子，不满足条件时进行旋转 while(parent) { if(cur==parent->_left) parent->_bf --; else parent->_bf ++; if(parent->_bf ==0) { break; } // -1 1 else if (parent->_bf ==-1||parent->_bf ==1) { cur=parent; parent=cur->_parent; } else { //旋转处理2 -2 if(cur->_bf ==1) { if(parent->_bf==2) RotateL(parent); else//-2 RotateLR(parent); } else { if(parent->_bf ==-2) RotateR(parent); else//2 RotateRL(parent); } break; } } return true ; } //左单旋 void RotateL(Node * parent) { Node* subR=parent ->_right; Node* subRL=subR->_left; if(subRL) subRL->_parent = parent; subR->_left= parent; Node* ppNode=parent ->_parent; parent->_parent=subR; if(ppNode==NULL ) { _root=subR; } else { if(ppNode->_left=parent ) { ppNode->_left=subR; } else { ppNode->_right=subR; } } parent->_bf=subR->_bf=0; } //右单旋 void RotateR(Node * parent) { Node* subL=parent ->_left; Node* subLR=subL->_right; if(subLR) subLR->_parent = parent; subL->_right = parent; Node* ppNode=parent ->_parent; if(ppNode==NULL ) { _root=subL; } else { if(ppNode->_left==parent ) ppNode->_left=subL; else ppNode->_right=subL; } parent->_bf =subL->_bf =0; } //左右双旋 void RotateLR(Node * parent) { Node* subL=parent ->_left; Node* subLR=subL->_right ; int bf=subLR->_bf ; RotateL( parent->_left); RotateR( parent); //根据subLR的平衡因子修正其他节点的平衡因子 if(bf==-1) { subL->_bf =0; parent->_bf =1; } else if (bf==1) { subL->_bf =-1; parent->_bf=0; } } //右左双旋 void RotateRL(Node * parent) { Node* subR=parent ->_right ; Node* subRL=subR->_left ; int bf=subRL->_bf ; RotateR( parent->_right); RotateL( parent); if(bf==1) { subR->_bf =0; parent->_bf =-1; } else if (bf==-1) { subR->_bf = 1; parent->_bf = 0; } } //中序遍历 void Inorder() { _Inorder(_root); cout<<endl; } void _Inorder(Node * root) { if(_root==NULL ) return; _Inorder( root->_left); cout<< root->_key <<" " ; _Inorder( root->_right ); } //判断是否平衡 bool IsBalence() { return _IsBalence(_root); } bool _IsBalence(Node * root) { if(root ==NULL) return true ; int left=_Height(root ->_left ); int right= _Height(root ->_right ); if(right-left!=root ->_bf || abs(right-left)>1) { cout<< "节点的平衡因子异常" <<endl; cout<< root->_key ; return false ; } return _IsBalence(root ->_left)&&_IsBalence(root->_left); } //求子树的高度 int _Height(Node * root) { if(root ==NULL) return 0; int left=_Height(root ->_left ); int right= _Height(root ->_right ); return left>right?left+1:right+1; } //前边方法的优化 //后续遍历先求子书的高度的同时就可以 //判断出子树是否平衡，然后依次求根节点的高度 bool _Isbalence(Node * root, int& height ) { if(root ==NULL) { height=0; return true ; } if(root ->_left ==NULL&& root->_right ==NULL ) { height=1; returnn true; } int leftheight=0; if(_Isbalence(root ->_left ,leftheight)==false) return false ; int rightheight=0; if(_Isbalence(root ->_right ,rightheight)==false) return false ; height=leftheight>rightheight?leftheight:rightheight; } }; void TestTree() { int a[] = {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}; AVLTree<int , int> t; for (size_t i = 0; i < sizeof(a)/ sizeof(a[0]); ++i) { t.Insert(a[i], i); } t.Inorder(); cout<< "是否平衡?" <<t.IsBalence()<<endl; }
以上是关于数据结构--AVL树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章