一道有趣的数学题

Posted 2021-03-14 tsotfsk

前段时间看到了一道十分有趣的数学题，如下
[ egin{align*} &x+y+z=1 &x^2+y^2+z^2=2 &x^3+y^3+z^3=3 &cdots &x^5+y^5+z^5=? end{align*} ]
这规律看着挺明显哈，那(x^5+y^5+z^5)肯定等于(5)啊，这题小学僧都随便做~那很不好意思哦，这道题的答案其实是(6)(笑。

我们先从一个最简单的做法做起，显然(x,y,z)是如下方程的解
[ egin{align*} &(r-x)(r-y)(r-z)=0 =>&r^3-(x+y+z)r^2+(xy+yz+xz)r-xyz=0 ag{1}\\end{align*} ]

• (x+y+z=1)

• ((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2 +2(xy+yz+xz) => xy+yz+xz={1-2 over 2} = -{1 over 2})

• (x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+xz))=>xyz={3-1 imes (2+{1over2}) over 3}={1over6})

将上述三个式子代入((1))式有
[ r^3-r^2-{1over2}r-{1over6}=0 ag{2} ]
这里(r=x,y,z)的时候等式成立，那么对((2))式，我们左乘个(r)就有
[ r^4-r^3-{1over2}r^2-{1over6}r=0 ]
然后分别将(x,y,z)代入可以得到
[ egin{cases} x^4-x^3-{1over2}x^2-{1over6}x=0 y^4-y^3-{1over2}y^2-{1over6}y=0 z^4-z^3-{1over2}z^2-{1over6}z=0 end{cases} ]
三个式子相加，那么有
[ (x^4+y^4+z^4)-(x^3+y^3+z^3)-{1over2}(x^2+y^2+z^2)-{1over6}(x+y+z)=0 ]
那么可以得到
[ x^4+y^4+z^4=3+{1over2} imes2+{1over6}={25over6} ]
同理我们对((2))式左右同乘(r^2)，那么就有
[ r^5-r^4-{1over2}r^3-{1over6}r^2=0 ]
分别代入(x,y,z)相加，就有
[ (x^5+y^5+z^5)-(x^4+y^4+z^4)-{1over2}(x^3+y^3+z^3)-{1over6}(x^2+y^2+z^2)=0 ]
那么就有
[ (x^5+y^5+z^5)={25over6} + {1over 2} imes3+{1over6} imes2=6 ]
这题到这里应该就结束了，但是我们要善于思考嘛，那(x^n+y^n+z^n)呢？注意到((2))式隐含的信息，假如我们令数列(a_n=x^n+y^n+z^n)，那么显然有(a_1=1,a_2=2,a_3=3)，此外根据刚才的运算，我们知道

[ a_{n}-a_{n-1}-{1over2}a_{n-2}-{1over6}a_{n-3}=0 ]
那么依照矩阵求解递推式的原理，我们容易写出如下等式组
[ egin{cases} a_{n}=a_{n-1}+{1over2}a_{n-2}+{1over6}a_{n-3} a_{n-1}=a_{n-1} a_{n-2}=a_{n-2} end{cases} ]
将其写成矩阵的形式，那么有
[ egin{bmatrix} a_n a_{n-1} a_{n-2} end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 &{1over2} &{1over6} 1 &0 &0 &1 &0 end{bmatrix} egin{bmatrix} a_{n-1} a_{n-2} a_{n-3} end{bmatrix} ]
那么将这个式子不断迭代，我们知道
[ egin{bmatrix} a_n a_{n-1} a_{n-2} end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 &{1over2} &{1over6} 1 &0 &0 &1 &0 end{bmatrix}^{n-3} egin{bmatrix} 3 2 1 end{bmatrix} ]
我们令
[ A=egin{bmatrix} 1 &{1over2} &{1over6} 1 &0 &0 &1 &0 end{bmatrix} ]
那么问题就转化成了求(A^n)的问题，那么我们知道矩阵的(n)次幂一般可以通过矩阵的特征值分解去求，但很可惜，这个矩阵并没有三个特征值，实际上在实数域上只有一个特征值，此外三次方程的求解比较麻烦，特征方程如下
[ lambda^3-lambda^2-{1over2}lambda-{1over6}=0 ag{3} ]
我这里就借助python的numpy库给出一个近似解

import numpy as np
a = np.array([[1, 1/2, 1/6], [1, 0, 0], [0, 1, 0]])
eig = np.linalg.eigvals(a)

输出的结果，整理后如下
[ egin{align*} &lambda_1 = 1.43084957+0.j &lambda_2 = -0.21542478+0.2647132j&lambda_3 = -0.21542478-0.2647132j end{align*} ]
正常的话，再依据这个矩阵求出特征向量之类，然后将(A)换成(USigma U^T)，那么这题基本就算完事。可针对这道题呢？这三个特征值其实对应的就是(x,y,z)的解啊！！！因为方程(3)不就是方程((2))嘛？所以我们兜了个大圈子，最后发现还是直接解三次方程好一点。那么结果就有了
[ x^n+y^n+z^n=1.43084957^n+(-0.21542478+0.2647132j)^n+(-0.21542478-0.2647132j)^n ]
有人可能要质疑了，你这个解不行啊，不够math啊。说得好！！！我李某元也是这么认为的。那我就给你一组比较math的(x，y，z)的解，其实python的一个库sympy可以用来做符号计算，要求解我们的方程组，只需要下面几条代码就可以了

import sympy
x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')
z = sympy.Symbol('z')
result = sympy.solve([x + y + z - 1 , x**2 + y**2 + z**2 - 2, x**3 + y**3+ z**3 - 3], [x, y, z])

输出的结果我给你整理一下哈，算了，懒得整理成latex的格式了，看个大概吧，嘻嘻(cdots)

图中的(result[0],result[1],result[2])分别可以对应(x，y，z)的一组解，注意这个方程其实是有(6)组解的，我们这里只给出三个让大家瞅瞅啥样哈。不知道这个结果是不是你比较喜欢，反正我不喜欢...

好了，那么大功告成！！！！当然这道题也有更一般的解法，但是用到了群论、数论之类的，其实就是一些很基础的知识，只不过讲的高大上了点，和我的做法本质是一样的，这里不过多引入，有兴趣的可以看知乎上给出的高大上的解法。