整数划分问题

Posted 2020-06-13

将正整数n表示成一系列正整数之和：
n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
求正整数n的不同划分个数。

例如正整数6有如下11种不同的划分：
    6；
    5+1；
    4+2，4+1+1；
    3+3，3+2+1，3+1+1+1；
    2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
    1+1+1+1+1+1。

问题本身都具有比较明显的递归关系，因而容易用递归函数直接求解。
如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。

 

#include <iostream>

using namespace std;

//增加一个自变量m，表示n的最大加数小于等于m
int changeToAddtion(int n,int m)
{
    if(n < 1 || m < 1)                //此时不是正整数，返回0
    {
        return 0;
    }
    if(n == 1 || m == 1)           //1的划分只有1中情况 即 1 = 1
    {
        return 1;
    }
    if(n < m)                             //m不可能大于n，m最大也就是n
    {
        return changeToAddtion(n,n);
    }
    if(n == m)                            //此时是把n分为 n = n 和最大加数小于n的其他情况
    {
        return 1 + changeToAddtion(n,n-1);
    }
    //n和m不等时，变换为 n = m + ..... 和 n 的最大加数小于m的其他情况
    return changeToAddtion(n,m-1) + changeToAddtion(n-m,m);
}

int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        cout << n << "的划分个数为 " << changeToAddtion(n,n) << endl;
    }
    return 0;
}