一个组合问题

Posted 2021-03-16 Pat

今天碰到这样一个问题：考虑 $1, 2, \dots, n$ 的所有排列，共有 $n!$ 个。今指定其中 $k$ 个数的相对顺序，问符合条件的排列有多少个？

分析

不失一般性，指定 $1, 2, \dots, k$ 这 $k$ 个数的相对顺序为 $1, 2, \dots, k$。举例言之，设 $n = 5, k = 2$，则 $(1, 2, 3, 4, 5)$，$(1, 4, 3, 2, 5)$，$(1, 5, 3, 4, 2)$ 都合格，而 $(3, 2, 5, 1, 4)$，$(2, 1, 4, 3, 5)$ 都不合格。

考虑下述构造排列的过程：
先把 $1, 2, \dots, k$ 顺次排好，再把 $k + 1, \dots, n$ 逐一插入到序列中。仍以 $n = 5, k = 2$ 为例，可以把 $(1, 4, 3, 2, 5)$ 这个排列想象成是由如下四个步骤得到的：
$(1, 2) \to (1, 3, 2) \to (1, 4, 3, 2) \to (1, 4, 3, 2, 5)$。

不难证明：如此构造出来的排列都满足条件，且所有满足条件的排列都可以如此构造出来。

插入 $k + 1$ 时有 $k + 1$ 个位置可选，插入 $k + 2$ 时有 $k + 2$ 个位置可选，……，插入 $n$ 时有 $n$ 个位置可选。于是可知满足条件的排列共有 $(k + 1)(k + 2) \dots (n) = n!/k!$ 个。

扩展

$1, 2, \dots, n$ 这 $n$ 个数的所有排列，满足 $x$（$k < x \le n$） 排在 $1, 2, \dots, k$ 之前的排列有多少个？

沿用上述构造排列的思路，不难得出共有 $k!n!/(k+1)! = n! /(k+1)$。

还可以用另一种思路来表示所要求的量：枚举 $x$ 在排列中的位置，有
$n!/(k+1) = \sum_{i = 1}^{n - k}\binom{n - i}{k}k! (n - k - 1)!$，即
$\sum_{i = 1}^{n - k} \binom{n - i}{k} = n!/((k+ 1)!(n-k-1)!) = \binom{n}{k + 1}$。
做指标代换，令 $j = n - i$，$m = n - 1$，得
$\sum_{j = k}^{m} \binom{j}{k} = \binom{m + 1}{k + 1}$。

$$ \sum_{i = k}^{n} \binom{i}{k} = \binom{n + 1}{k + 1} $$
是一个经典的组合恒等式，另有证明如下：
只需要注意到 $\binom{k}{k} + \binom{k + 1}{k} = \binom{k + 1}{k+1} + \binom{k+1}{k} = \binom{k + 2}{k+1}$。