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前言
利用正余弦定理判断三角形的个数的常用思路：
①代数法：从数的角度思考，根据大边对大角的性质，三角形内角和公式，正弦函数值判断；
②几何图形法，从形的角度思考，根据条件画出图形，通过图形直观判断三角形的个数；
情形列举
在\\(\\triangle ABC\\)中，已知\\(a，b，A\\)，三角形的解的个数比较复杂，见下表
典例剖析
法1：代数法，由\\(\\cfrac{a}{sinA}=\\cfrac{b}{sinB}\\)，得到\\(sinB=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)，
故\\(B=60^{\\circ}\\)或\\(B=120^{\\circ}\\)，则对应的三角形有两个，故选\\(B\\)；
法2：几何图形法，可仿例3完成，由于\\(bsinA=\\sqrt{3}\\)，则\\(bsinA<a<b\\)，
故满足条件的三角形有两个。
法1：从形的角度，如图所示，\\(AD=20\\sqrt{3}\\)，当以点\\(A\\)为圆心，以\\(20\\)为半径做圆时，
此时和角的另一边\\(CD\\)没有交点，故满足题意的三角形是不存在的。
法2：从数的角度，如果这样的三角形是存在的，那么由正弦定理可知，
\\(\\cfrac{b}{sinB}=\\cfrac{c}{sinC}\\)，得到\\(sinB=\\cfrac{bsinC}{c}=\\sqrt{3}>1\\)，
我们知道\\(|sinx|\\leq 1\\)，故这样的\\(B\\)不存在，即满足题意的三角形不存在。
分析：这样的题目我们一般是从形的角度入手分析的多见一些，因为毕竟有形的帮助要直观的多。
如图所示，由图像可知\\(CD=6\\sqrt{3}\\)，
当\\(k\\in(0，6\\sqrt{3})\\)时，满足题意的三角形不存在；
当\\(k=6\\sqrt{3}\\)时，满足题意的三角形是唯一的，且是直角三角形。
当\\(k\\in(6\\sqrt{3}，12)\\)时，满足题意的三角形是两个。
当\\(k=12\\)时，满足题意的三角形是一个，是等腰三角形。
当\\(k>12\\)时，满足题意的三角形是一个。
【解后反思】1、学生对这类题目的掌握一般都不太好，不会作图，不会应用图像解决问题。
2、这类题目作图的顺序是这样的，先做出\\(\\angle B\\)，一条已知边\\(BC\\)要么水平放置，要么斜放着，一般都是斜放着，此时点\\(C\\)就有了着落，这样放置也便于求点\\(C\\)到下底边上的高，然后以点\\(C\\)为圆心，以\\(AC\\)长为半径画弧，若所画的弧与下底边有交点，这个交点就是点\\(A\\)，有几个交点就意味着有几个三角形存在，若所画的弧与下底边没有交点，则这样的三角形是不存在的。
法1：从数的角度入手，由正弦定理\\(\\cfrac{k}{sinA}=\\cfrac{12}{sin60^{\\circ}}\\)，
得到方程\\(k=8\\sqrt{3}sinA，A\\in(0，\\cfrac{2\\pi}{3})\\)有一个解，或者两个函数图像有一个交点，数形结合求解即可。
由图可知，满足题意的三角形恰有一个，则\\(k\\in(0，12]\\)或\\(k=8\\sqrt{3}\\)。
法2：从形的角度入手，动静元素互相换位，即理解为让长度为\\(12\\)的边变化，让长度为\\(k\\)的边不变化。
如图，以点\\(C\\)为圆心画弧，当\\(12\\)小于点\\(C\\)到边\\(AB\\)的高度\\(k\\times\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)时，
即\\(k\\times\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}>12\\)时，解得\\(k>8\\sqrt{3}\\)，此时三角形是不存在的；
当\\(12\\)等于点\\(C\\)到边\\(AB\\)的高度\\(k\\times\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)时，
即\\(12=k\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)，解得\\(k=8\\sqrt{3}\\)，三角形是唯一的；
当\\(12\\)大于点\\(C\\)到边\\(AB\\)的高度\\(k\\cdot\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)时，三角形是两个的，
即\\(12>k\\times \\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)，解得\\(k<8\\sqrt{3}\\)；
当\\(12\\)大于或等于边\\(BC\\)时，三角形是唯一的，即\\(0<k\\leqslant 12\\)，
综上可知，当\\(k=8\\sqrt{3}\\)或\\(k\\in(0，12]\\)时，满足条件的三角形恰好只有一个。
【解后反思】①动静互换，体现了思维的灵活性；②是否可以这样想，有一种从形入手分析的思路，必然就会有一种从数入手的思路与之对应。