codeforces 688D - Remainders Game 数学相关

Posted 2020-08-01 shuguangzw

题意：给你x%ci=bi（x未知）,是否能确定x%k的值（k已知）

 

——数学相关知识：

首先：我们知道一些事情，对于k,假设有ci%k==0,那么一定能确定x%k的值，比如k=5和ci=20，知道x%20=y，那么ans=x%k=y%5;

介绍（互质版）中国剩余定理，假设已知m1,m2,mn，两两互质,且又知道x%m1,x%m2..x%mn分别等于多少

设M=m1*m2*m3..mn,那么x在模M的剩余系下只有唯一解（也就是知道了上面的模线性方程组，就可以求出x%M等于多少）

 

——此题解法

针对这个题呢，我们要确定x%k，只要保证知道上述的互质的模线性方程组就好

怎么样得到模线性方程组呢，直接把k唯一分解就好

即：k=p1^k1*p2^k2...*pr^kn，如果任意i，都有pi^ki的倍数出现在集合中(这一点如果不懂可以看上面，如果知道一个数倍数的取模，那么它肯定也知道)，那么k就能被猜出来。

 

分析：只要保证k能整除ci的最小公倍数即可，由于太大，所以通过暴力分解因子的办法来判断

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
bool cov[1005];
int n,k,cnt,fac[1005]; 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=2;i<=k;++i){
      if(k%i)continue;
       int cur=1;
       while(k%i==0)cur*=i,k/=i;
       fac[++cnt]=cur;
    }
    for(int i=0;i<n;++i){
      int x;scanf("%d",&x);
      for(int j=1;j<=cnt;++j)
        if(x%fac[j]==0)cov[j]=true;
    }
    bool flag=1;
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
      if(!cov[i])flag=0;
    if(flag)printf("Yes\\n");
    else printf("No\\n");
    return 0;
}

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