Cauchy-Binet公式的证明 及 对Denton et al. (2019)的个人注

Posted 2020-11-23 司徒鲜生

柯西-比内(Cauchy-Binet)公式的证明 及 对《来自特征值的特征向量》的理解

 

                                                                                                                                        -------- 司徒鲜生@2019年11月15日

    

　　据新闻报道, 3个物理学家和数学天才陶哲轩研究出一个只用特征值就可以计算矩阵特征向量的公式, 我感觉很有趣, 这应该能够应用在很多领域中, 所以仔细研究了一波.

　　研究公式耗费了我大半天, 我把所有的公式都推导了一遍, 也给出了一些我的看法, 现在把它们总结出来, 方便后人参考. 我给出了柯西-比内（Cauchy-Binet）公式(原文引理1)的更一般形式及其证明过程, 对该公式取特殊条件即可证明引理2.(该引理就是全文的主要结论). 不过相比之下, 还是陶哲轩对于引理2的证明更加简洁, 虽然没有用到引理1.

　　有人说需要矩阵是埃尔米特矩阵（自共轭矩阵）才可以应用，实际上并不是的，这个公式可以应用在任意矩阵上，还是有一定的实用价值。

　　我的证明有些地方可能不严谨, 欢迎读者批评指正.

 

   参考(文献)

　　新闻报道(微信): 3个搞物理的颠覆了数学常识, 数学天才陶哲轩: 我开始压根不相信

 　　参考(文献): Denton, P.B., Parke, S.J., Tao, T., Zhang, X., 2019. Eigenvectors from Eigenvalues. 未发表预印版.

 

　　0.说明

　　1.  化简的方法

　　2.  运用行列式特征分解的方法

　　3.  联立可得

　　　　　　从1,2我们可以看出，无需要求矩阵A是埃尔米特矩阵（自共轭矩阵）, 我们就可以获得一个更一般形式的柯西比内公式，如下

　　4.  特殊情况1

　　5.  特殊情况2

　　6.  特殊情况3

　　7.  特殊情况4

　　8.  解释及备注

　　9. 特征向量归一化的验证