尾递归 递归函数中，递归调用是整个函数体中最后的语句，且它的返回值不属于表达式的一部分时，这个递归调用就是尾递归，空间复杂度是O

Posted 2020-12-01 将者，智、信、仁、勇、严也。

什么是递归深度

递归深度就是递归函数在内存中，同时存在的最大次数。
例如下面这段求阶乘的代码：
Java:

int factorial(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return factorial(n - 1) * n;
}

Python:

def factorial(n):
    if n == 1:
        return 1
    return factorial(n-1) * n

C++:

int factorial(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return factorial(n - 1) * n;
}

当n=100时，递归深度就是100。一般来说，我们更关心递归深度的数量级，在该阶乘函数中递归深度是O(n)O(n)O(n)，而在二分查找中，递归深度是O(log(n))O(log(n))O(log(n))。在后面的教程中，我们还会学到基于递归的快速排序、归并排序、以及平衡二叉树的遍历，这些的递归深度都是(O(log(n))(O(log(n))(O(log(n))。注意，此处说的是递归深度，而并非时间复杂度。

太深的递归会内存溢出

首先，函数本身也是在内存中占空间的，主要用于存储传递的参数，以及调用代码的返回地址。
函数的调用，会在内存的栈空间中开辟新空间，来存放子函数。递归函数更是会不断占用栈空间，例如该阶乘函数，展开到最后n=1时，内存中会存在factorial(100), factorial(99), factorial(98) ... factorial(1)这些函数，它们从栈底向栈顶方向不断扩展。
当递归过深时，栈空间会被耗尽，这时就无法开辟新的函数，会报出stack overflow这样的错误。
所以，在考虑空间复杂度时，递归函数的深度也是要考虑进去的。

Follow up：
尾递归：若递归函数中，递归调用是整个函数体中最后的语句，且它的返回值不属于表达式的一部分时，这个递归调用就是尾递归。（上例factorial函数满足前者，但不满足后者，故不是尾递归函数）
尾递归函数的特点是：在递归展开后该函数不再做任何操作，这意味着该函数可以不等子函数执行完，自己直接销毁，这样就不再占用内存。一个递归深度O(n)O(n)O(n)的尾递归函数，可以做到只占用O(1)O(1)O(1)空间。这极大的优化了栈空间的利用。
但要注意，这种内存优化是由编译器决定是否要采取的，不过大多数现代的编译器会利用这种特点自动生成优化的代码。在实际工作当中，尽量写尾递归函数，是很好的习惯。
而在算法题当中，计算空间复杂度时，建议还是老老实实地算空间复杂度了，尾递归这种优化提一下也是可以，但别太在意。