补码到底是个什么东西

Posted 2020-12-01 烟草的香味

 

概述

先引入一个前提，在计算机中数字是以二进制进行存储的，也就是我们看到的2，在计算机中存储的是10。我们进行的加法运算 2+1=3 在计算机中是这样的（这里先假设计算机存储的是4位二进制数字） 0010+0001=0011

很容以看的出来，4为二进制数能表示的最大数字是1111，就像两位十进制数表示的最大数字是99一样。那如果在进行加法运算时，结果超出存储的容量怎么办？比如：9+9=18 二进制表示为：1001+1001=10010，但是，因为只能存储4位数的原因，最高位丢了，结果变成了 0010，也就是2，这时是发生了溢出的。在做运算时要避免数值发生溢出（当然，现在计算机存储的数字为64位，日常使用完全不用担心）

运算不光有加法，还有减乘除。乘法就是多次加法，除法就是多次减法。那么减法如何实现呢？在刚开始的时候，计算机只能进行加法运算，这时一部分人想办法让其能够直接进行减法计算，而另一部分人想通过加法来实现减法，最终后者先给出了解决方案。（只是我臆想的情景）

通过加法来实现减法

还记得上面提到的，四位二进制数表示的最大数字为15，当发生溢出时：

16=>二进制：10000 => 0

17=>二进制：10001 => 1

显然，去掉最高位等于减去16

那么能不能利用加法溢出来实现减法呢？下面简单推倒一下：

9-2=7 若要实现 9+x=7 那么利用溢出的原理，就要实现 9+x=7+16=23 简单的解一下方程 x=23-9=14 ， 很好，来验证一下：

9+14 的二进制表示为：1001+1110=10111 最高位溢出，结果为：0111 也就是7，完美。

下面问题来了：如何将上边的2转成14呢？也就是讲二进制的0010转成1110。他们有什么关系呢？

伟大的数学科学家前辈们总结出了规律。并发明了反码和补码的概念。补码就是上面转换后的14。

原码=>按位取反=>反码

反码=>加１=>补码

虽然不知道这个规律是如何找出来的，但经过无数次验证，确实是这样。

引入负数

当引入了负数的概念时，为了表示正负，规定第一位为符号位（０为正，１为负），因为引入符号位，原来的４位数，能表示的最大值也变成了0111。

因为负数的引入，现在所有的减法都可以当做加法来实现了，9-2=9+(-2)，或者说9+(-2)=9-2。计算仍然是通过补码来实现。

负数的补码为：符号位不变按位取反，再加１

正数的补码为：它本身

负数的补码很好理解，就是上面总结的规律，利用加法来实现减法。正数的补码为啥是它本身呢？你看刚才分析的减法，只有被减数进行了转换，减数没变吧。很好理解。其实也是为了可以统一进行处理，引入补码后，正负数可以使用一套加减法规则进行计算。

简单实验一下：

2+(-4)=-2

-4 => 二进制表示：1100 => 补码：1100

2 => 二进制表示：0010 => 补码：0010

1100+0010=1110(补码)

将计算结果再转成原码　1010，-2没毛病

然后，有一个尴尬的问题，正数的0为: 0000，负数的0为：1000，同一个数字，但是换成补码后，你会发现是同一个数字: 0000。

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总结一下：利用补码计算，就是通过加法来实现减法运算，是利用了计算机存储位数有限，超出发生溢出并丢失最高位的特性。

不知道补码是哪位伟大的科学家发明的，前人栽树后人乘凉，膜拜。