[BZOJ1096] [ZJOI2007] 仓库建设 (斜率优化dp)

Posted 2020-07-31 CtrlCV

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

　　在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。
　　【数据规模】
　　对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

Source

Solution

　　设$f[i]$表示在第$i$个工厂建仓库时前$i$个工厂的最小花费，则：

　　$\\displaystyle f[i]=min\\left\\{f[j]+\\sum_{k=j+1}^{i}(c[i]-c[k])*p[k]\\right\\}+c[i]$

　　　　$\\displaystyle=min\\left\\{f[j]+c[i]*\\sum_{k=j+1}^{i}p[k]-\\sum_{k=j+1}^{i}c[k]*p[k]\\right\\}+c[i]$

　　令$\\displaystyle sump[i]=\\sum_{j=1}^i p[j]$，$\\displaystyle sumxp[i]=\\sum_{j=1}^i x[j]*p[j]$，则：

　　$\\displaystyle f[i]=min\\big\\{\\ f[j]+x[i]*(sump[i]-sump[j])-(sumxp[i]-sumxp[j])\\ \\big\\}+c[i]$

　　据说$f[i]$满足决策单调性，辣么这一步的证明跳过= =b

　　设$j<k$且$k$比$j$优，那么最后化成的斜率式是这样的：$\\displaystyle\\frac{(f[k]+sumxp[k])-(f[j]+sumxp[j])}{sump[k]-sump[j]}<c[i]$

　　维护下凸壳搞一搞就行了

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 int x[1000005], p[1000005], c[1000005], q[1000005];
 5 ll sump[1000005], sumxp[1000005], f[1000005];
 6 
 7 double slope(int i)
 8 {
 9     return 1.0 * (f[q[i]] + sumxp[q[i]] - f[q[i - 1]] - sumxp[q[i - 1]]) / (sump[q[i]] - sump[q[i - 1]]);
10 }
11 
12 int main()
13 {
14     int n, front = 0, back = 1;
15     scanf("%d", &n);
16     for(int i = 1; i <= n; ++i)
17     {
18         scanf("%d%d%d", x + i, p + i, c + i);
19         sump[i] = sump[i - 1] + p[i];
20         sumxp[i] = sumxp[i - 1] + (ll)x[i] * p[i];
21     }
22     for(int i = 1; i <= n; ++i)
23     {
24         while(front < back - 1 && slope(front + 2) < x[i])
25             ++front;
26         int j = q[front + 1];
27         f[i] = f[j] + x[i] * (sump[i] - sump[j]) - sumxp[i] + sumxp[j] + c[i];
28         q[++back] = i;
29         while(front < back - 2 && slope(back) < slope(back - 1))
30             q[--back] = i;
31     }
32     printf("%lld\\n", f[n]);
33     return 0;
34 }

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