数论之高次同余方程（Baby Step Giant Step + 拓展BSGS）

Posted 2020-06-13

什么叫高次同余方程？说白了就是解决这样一个问题：

A^x=B(mod C)，求最小的x值。

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baby step giant step算法

题目条件：C是素数（事实上，A与C互质就可以。为什么？在BSGS算法中是要求a^m在%c条件下的逆元的，如果a、c不互质根本就没有逆元。）

如果x有解，那么0<=x<C，为什么？

我们可以回忆一下欧拉定理：

对于c是素数的情况，φ(c)=c-1

那么既然我们知道a^0=1,a^φ(c)=1(在%c的条件下)。那么0~φ(c)必定是一个循环节（不一定是最小的）。既然是%c，那么B一定是0到c-1之间的一个数。最坏的条件下，a的φ(c)以内次方%c的余数各不相同，0<=x<C时一定存在一个x满足条件。根据抽屉原理，如果在大于c的x中出现一个x值满足条件，那在它以前一定有一个更小的x值满足条件。

 

BSGS的算法是这样的：

首先取m=sqrt(c)向上取整。（为什么取sqrt(c)？我也不是很懂，是为了算法的效率平衡。）

然后先预处理a的0到m次方。

a^x=b ( %c )
设x=i*m+j;
即: i为x/m，j为x%m。
a^(i*m+j)=b;
b * (a^(-m))^i = a^j ( %c )

先枚举j，把右边存起来（Hash 或者 普通数组，下一步用二分查找）
枚举i，如果左边的数值曾经存储过（b * (a^(-m))^i = a^j）,则 x=i*m+j。

 

求a^(-m):(就是a^m的逆元)

有两种方法：

   方法一：根据欧拉定理

 

                设A=a^m,那么A^φ(c)==1(%c)

                A^(φ(c)-1)*A==1(%c)

               到这里已经可以得到A的逆元为A^(φ(c)-1)。

               继续推下去，根据c是素数，φ(c)=c-1

               那么A的逆元就是A^(c-2)

     

   方法二：相当于解a^m*x-C*y=1，根据拓展欧几里得出x就是逆元。

 

BSGS主要就是要注意细节，注意要去重（余数相同时只要取较小的一个）。

 

 

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拓展BSGS

 

如果a跟c不互质，那该怎么办？

其实只需要加一小段代码就可以。

首先，我们知道：

A%C=B，那么就是A-C*x=B，如果d=gcd(A,C),且B%d==0，那么(A/d)%(C/d)=B/d是成立的。

那么我们就在A与C仍有不为一的公因数的时候，不断地从a^x中拿出一个a与c约分。过程中如果b%d！=0，那么无解。

LL D=1%C; LL g=0,d;
while(  ( d=gcd(A,C)   )  !=1 )
{        
        if(B%d)return -1;
        B/=d;C/=d;
        g++;D=D*(A/d)%C;
}

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最后我们的方程就变为了k*a^(x-g) == b‘ (%c‘)

用BSGS解出x后加上g就是答案。