一个有理数集上的实数集函数

Posted 2021-03-25 刘通1997

一个定义在有理数集上的实数函数 f，对一切有理数x和y，都有 f（x+y）=  f（x）+ f（y）。

证明：对有理数x有 f（x）= kx，其中k为实数。

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令n为大于0的正整数，则

f（nx）= f（n-1 x）+f（x）

f（n-1 x）= f（n-2 x）+f（x）

············

f（2x）= f（x）+f（x）

∴ f（nx）= n f（x）

 这意味着，对任意一个x，将自变量区域0-x分为n（n为正整数）份并命名为x1、x2···xn，所有这些点对应的y在一条直线上并且过原点。

假设 对所有的有理数x都满足 f（x）= kx 不成立，即至少存在两点，这两点的连线不过原点，设这两点中较小的点为xa，较大的为xb，xa<xb，

由于xa xb都是有理数，所以xa/xb 是一个真分数，设xa/xb的分母为m，分子为n，将自变量0-xb分为m份，并命名为x1、x2···xm，所有这些点对应的y在一条直线上并且过原点。由于xn就是xa，所以xa对应的点与xb对应的点连线也过原点，与已知矛盾，所以假设不成立，所以对所有的有理数x有 f（x）= kx 成立，证毕。