2019.9.25 初级数据结构——树状数组

Posted 2023-01-05 qxds

一、树状数组基础

学OI的同学都知道，位运算（对二进制的运算）比普通运算快很多。同时我们接触到了状态压缩的思想（即将0-1的很多个状态压缩成十进制的一个数，每一个二进制位表示一个状态）。由于在实际做题过程当中，由于数据范围限制，我们必须采用更高效的存储、查询方法，于是树状数组应运而生。

首先我们检查传统的存储状态。对于数组的每一个下标i，其所存储的有效信息只有一个a[i]（这是传统数组）。而对于树状数组，我们每一位下标可以存储lowbit(i)个有效信息。这个lowbit运算一会再说。所以尽管树状数组很难压缩真正的存储空间，但查询的时候可以把n的复杂度压缩成log（n）。这里的查询指区间查询和单点修改。

为什么有这样的查询效率？对于一个区间[1,x]，我们把它分成log(x)个小区间。设x=2ⁱ¹+2ⁱ²+……2^im（这不由得让我们想起快速幂的分解方法），不妨设i1>i2>……>im，则我们可以把[1,x]分成以下小区间：

(1)长度为2ⁱ¹的小区间[1,2ⁱ¹]

(2)长度为2ⁱ²的小区间[2ⁱ¹+1,2ⁱ¹+2ⁱ²]

……

(log(n))长度为2^im的小区间[2^im-1+1,……+2^im]

比如[1,6]可以分成[1,4]和[5,6]

所以我们如果想修改这个区间[1,x]的和，我们只需要修改这log(n)个区间的的和即可。

先上个图：

所以我们现在的问题在于，如果我们要查找a[idx]的前缀和，假设最开始idx是6：

则我们先加上最后一段小区间，令idx=6-2¹；

再加上第一段小区间，令idx=6-2¹-2²。

应当注意的是，我们每次多减去的那个2ⁱ，实际上那个i是idx的二进制最靠近个位的那一位1对应到的数的编号。

举个例子：

10的二进制是1010，最靠近个位的一个1是在第二位，所以我们第一次减掉2²；

得到的新数是8，二进制是1000，最靠近个位的一个1是在第四位，所以我们减掉2⁴得到0。

我们减掉2^k这个过程，我们把它量化，记原来的数组是a，我们开的数组是c，则每次我们加上的区间就是c[idx]，然后idx往前移动到c[idx]存储的区间的前一位，继续这个步骤。

比如说，我们要计算a[1]到a[6]的和，我们让idx=6，我们发现刚才我们拆分[1,6]的结果最后一个小区间是[5,6]，所以我们用c[6]记录a[5]+a[6]，然后跳到c[4]，用c[4]记录a[1]+a[2]+a[3]+a[4]，即可得到答案。c数组就是我们说的树状数组。

那到底这个[1,n]的小区间怎么拆分？因为我们每次减掉的那个2ⁱ的i都是离个位最近的一个1所在的位置，所以我们只需要按照上述规则从后往前遍历n的所有二进制位，就可以遍历存储这个数的所有小区间。

比如说我们从6(110)遍历到4(100)（其中经过了[5,6]），然后遍历到0，其中经过了[1,4]。

也就是说，我们只需要找到每次要减掉的2ⁱ即可。

重点来了！！！

我们定义每次减掉的数是lowbit(i)（其中i是进行减法操作之前的数），也就是说lowbit(i)=2^m，其中m是i的二进制最靠个位一个1的位置。定义了这个，我们实际上就是定义c[i]是以a[i]结尾长度为lowbit(i)的a数组内的区间，即c[i]=a[i-lowbit(i)+1]+a[i-lowbit(i)+2]+……+a[i]。这样每次idx跳跃一个lowbit(idx)，就相当于恰好跳过了需要被加上的一段小区间，而加上这一段小区间的和只需要O(1)的复杂度。

怎么算这个lowbit(i)？这就要用到科学家们的智慧。

lowbit(i)=x&(-x)。

为什么这个数就能满足我们的要求？

我们来补充一点二进制的知识：

我们在存储一个数时，int类型是一个32位有符号整数，其中第一位是符号位，1表示负数，0表示正数。

 这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 x&(-x)有

       ● 当x为0时，即 0 & 0，结果为0；

       ●当x为奇数时，最后一个比特位为1，取反加1没有进位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为0。结果为1。

       ●当x为偶数，且为2的m次方时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及

其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。 

      ●当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (2^k)。其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的二进制表示最

右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第k+1位因为进位的关系变成了1。

左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为0。结果为2^k。

        总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。

一定注意，lowbit(0)会陷入死循环。

 所以我们只需要利用这种运算，就可以在log(n)的复杂度内分割小区间，从而计算从a[1]到a[n]的和。

 

同样我们考虑修改一个值a[idx]，因为c数组存储a数组的值有重复，所以我们必须将所有包含a[idx]的c[i]都进行修改。所以，同刚才的步骤，我们只需要根据某种顺序顺次查找每个包含a[idx]的c[i]即可。

 这个顺序非常容易想到：

刚才我们已经知道，我们用c[i]表示从i往前数lowbit(i)个a[i]的总和。根据树状数组的特殊结构，我们查找的步骤如下：

找到c[i]（肯定包含a[i]）----->找到第一个包含c[i]的c[j]--------->找到第一个包含c[j]的c[k]……

一定注意这个步骤，这是因为树状数组的本质是一棵树，一个点只有一个父亲，这个我们之后会说。

根据lowbit的定义，同时根据二进制的特性，有以下两个特征：

（1）lowbit每向左移一位，其表示的lowbit(i)（也就是对应的区间长度，见前文）就乘以2；

（2）根据上文，我们要找到的数实际上是比他大的第一个lowbit往前移动一位的数（比如说5（101），6（110），lowbit移动了一位）。

所以我们怎么找这样的数？？？

要解决这个问题，我们必须回到二进制的加法：

比如说6+2，在二进制里的表示是这样的：

    1 1 0

+0 1 0

---1-------

1 0 0 0

大家很容易注意到，第二位的两个1加起来之后进位到上一位一个1，因为上一位也有一个1，所以必须再进位；以此类推，它会一直进位直到进位到第一个数的lowbit前面的0上，把它变成1。

这难道不是我们刚才要的lowbit移动的方法？？我们已经把最后一个1进位到了前面。我们只需要找到第二个和它相加的那个数即可。

因为要进位最后一个1，同时我们需要使底下那个数最小，所以我们只需要找到一个数，它前面后面都是0，中间那个与第一个数最后一个1对上的那一位是1.不明白的参见上面的例子。

有没有觉得上面这个很熟悉？？？？

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综上所述，我们得到：

（1）树状数组求前缀和：求1-i的和，每次加上c[i]，然后减去lowbit(i)。

（2）树状数组单点修改：修改a[i]时修改c[idx]，然后idx+=lowbit(idx)，最开始idx=i。

 二、树状数组的几何认识

刚才我们已经了解了树状数组的基本操作，下面我们从树本身的角度认识树状数组的性质和操作。

根据上面的图我们可以知道，树状数组具有以下几个性质：

（1）红色节点和其父亲之间的横向距离是lowbit(i)，这是树状数组构建的基础，所以我们每次修改一个a[i]的值其实是修改所有以c[i]为根的且包含a[i]的子树的c[i]的值，也就是说从a[i]每次向上找到其父亲，并修改a[i]每一级父亲的值即可。

（2）查找一个点的前缀和时，相当于从这个点每次找到它的儿子覆盖的区间，而每个点覆盖的区间是从这个点到它最左边的儿子，所以每次减去lowbit(i)即可。

高级用法待填坑。