FFT加速高精度乘法

Posted 2023-01-02 aprincess

dalao精讲原文  https://blog.csdn.net/Flag_z/article/details/99163939

 

FFT加速高精度乘法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//complex是stl自带的定义复数的容器 
typedef complex<double> cp;
#define N 2097153
//pie表示圆周率π 
const double pie=acos(-1);
int n;
cp a[N],b[N];
int rev[N],ans[N];
char s1[N],s2[N];
//读入优化 
int read()
    int sum=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch>‘9‘||ch<‘0‘)if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-‘0‘;ch=getchar();
    return sum*f;

//初始化每个位置最终到达的位置 

    int len=1<<k;
    for(int i=0;i<len;i++)
    rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));

//a表示要操作的系数，n表示序列长度
//若flag为1，则表示FFT，为-1则为IFFT(需要求倒数） 
void fft(cp *a,int n,int flag) 
    for(int i=0;i<n;i++)
    
     //i小于rev[i]时才交换，防止同一个元素交换两次，回到它原来的位置。 
      if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    
    for(int h=1;h<n;h*=2)//h是准备合并序列的长度的二分之一
    
    cp wn=exp(cp(0,flag*pie/h));//求单位根w_n^1 
     for(int j=0;j<n;j+=h*2)//j表示合并到了哪一位
     
      cp w(1,0);
       for(int k=j;k<j+h;k++)//只扫左半部分，得到右半部分的答案
       
         cp x=a[k];
         cp y=w*a[k+h];
         a[k]=x+y;  //这两步是蝴蝶变换 
         a[k+h]=x-y;
         w*=wn; //求w_n^k 
       
     
     
     //判断是否是FFT还是IFFT 
     if(flag==-1)
     for(int i=0;i<n;i++)
     a[i]/=n;

int main()
    n=read(); 
    scanf("%s%s",s1,s2);
    //读入的数的每一位看成多项式的一项，保存在复数的实部 
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(double)(s1[n-i-1]-‘0‘);
    for(int i=0;i<n;i++)b[i]=(double)(s2[n-i-1]-‘0‘);
    //k表示转化成二进制的位数 
    int k=1,s=2;
    while((1<<k)<2*n-1)k++,s<<=1;
    init(k);
    //FFT 把a的系数表示转化为点值表示 
    fft(a,s,1);
    //FFT 把b的系数表示转化为点值表示 
    fft(b,s,1);
    //FFT 两个多项式的点值表示相乘 
    for(int i=0;i<s;i++)
    a[i]*=b[i];
    //IFFT 把这个点值表示转化为系数表示 
    fft(a,s,-1);
    //保存答案的每一位(注意进位） 
    for(int i=0;i<s;i++)
    
    //取实数四舍五入，此时虚数部分应当为0或由于浮点误差接近0
    ans[i]+=(int)(a[i].real()+0.5);
    ans[i+1]+=ans[i]/10;
    ans[i]%=10;
    
    while(!ans[s]&&s>-1)s--;
    if(s==-1)printf("0");
    else
    for(int i=s;i>=0;i--)
    printf("%d",ans[i]);
    return 0;