yzoj P2371 爬山 题解

Posted 2023-01-02 donkey2603089141

背景

其实 Kano 曾经到过由乃?，当然这名字?看?主就是 Yuno 嘛。当年 Kano 看见了由乃?，内?突然涌出了?股杜甫会当凌绝顶，?览众??的 豪?，于是毅然决定登?。但是 Kano 总是习惯性乱丢垃圾，增重环卫?? 的负担，Yuno 并不想让 Kano 登?，于是她果断在?上设置了结界……

题意

Yuno 为了?便登?者，在?上造了 N 个营地，编号从 0 开始。当结界发动时，每当第 $ i(> 0) $ 号营地内有?，那么他将被传送到第 $ A_i (< i) $ 号营 地，如此循环，所以显然最后只会被传送到第 0 号营地。

但 Kano 并不知晓结界的情况。他登?的?法是这样的：?先分?出?个编号为$ D_i $ 的 Kano，然后将其?投?机抛掷到营地 $ G_i $ 。Kano 总共做了 M 次这样的登?操作，但每次抛出去的 Kano 都被传送回了营地 0，所以 Kano 只好放弃了。

但是 Kano 在思考?个问题，到底每个营地被多少只编号不同的 Kano 经过过？

输入

第??两个整数 $ N,M，$ 表??的营地数和登?次数。

接下来 $ N ? 1 $ ?，每??个数，第 $ i $ ?为 $ A_i $ ，表?营地 i 将会传向营 地 $ A_i $ 。

接下来 $ M $ ?，每?两个数 $ G_i ，D_i $ 。

输出

共 $ N $ ?，每?表?营地 $ i $ 有多少不同编号的 Kano 曾经通过。

数据范围

$ N,M<=10^5, max(D_i) <=10^9 $

看完题考场临时打的暴力，才10分，同机房的大佬暴力90分。。。我菜爆惹

解析

算法一

开一个数组 $ a[i, j] \(表示第\) i $个点的第 $ j \(种标记是否被打过，每次询问可以\) O(total) \(回答，其中\) total $是标记数。

或使用一个计数器，每次有某个 $ a[i, j] $ 从 $ False $ 变 $ True $ 则 $ i $的计数器加1，询问可以做到O(1)。

每次修改暴力打标记。明显的，如果 $ max(D_i) $ 大于 $ M \(，则可以通过离散把数量级下降到\) M $。

时间复杂度$ O(NM)$，空间复杂度 $ O(Nmax(D_i)) $

算法二

由于每次修改影响到的仅是修改点的祖先，可以换一种储存方式，直接把标记打到点上。每次询问一个点只需要查询该点为根的子树下有多少不同的标记。

这样可以使用DFS序，对每种标记开一个树状数组，对每个标记，查询该子树下是否有标记

时间复杂度 $ O(M log(N)+N max(D_i)log(N)) $，空间复杂度 $ O(N max(D_i)) $

算法三

发现算法二没有必要使用树状数组维护，只需要每种标记分开处理，处理只需要简单地遍历整棵树

时间复杂度 $ O(N max(D_i)) $ , 空间复杂度 $ O(N)$.

算法四

首先我们仅考虑只有一种标记的情况，如果仅有一种标记，那么我们可以把被打标记的点进行+1操作，那么如果最后，一个点的子树和大于 $ 1 $，该点就是有标记的。

但是这样处理不了多种标记的数量，所以要把多余的 $ +1 $ 标记减去，而多余的 $ +1 $ 标记的形成是两个操作拥有公共祖先，所以在两个操作点的 $ LCA $ 处打上一个 $ -1 $ 标记就可避免多加的情况，原来的两个操作也就变成了一个操作了，可以证明-1标记只会打 $ M $ 个。

如此就可以拓展到多种标记，?标记数就是该点的?树权值和。为了方便打 $ -1 $ 标记，我们可以交换操作顺序，把同?种标记的?起做,而 $ -1 $ 标记所打的点就是这些相同标记的操作点按 $ DFS $ 序排序之后相邻两点的 $ LCA $ 。
时间复杂度为 $ O(MlogN + N + MlogM) $

ac代码

传送到哪个点便与它建一条边，将其作为父节点，显然 $ 0 $ 为根节点，于是我们只要对分身从小到大进行排序（$ D_i $为第一关键字, $ dfs $ 序为第二关键字），每次枚举 $ D_i $ 相同 $ G_i $ 不同的相邻点对其 $ lca $ 打上 $ -1 $ 标记，其余打上 $ +1 $ 标记，最后跑一遍 $ dfs $ 将每个点的子树的值统计起来就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int size=200010;
struct node
    int g;//地点
    int d;//编号
b[size];
int f[size][20],d[size],book[size],st[size],a[size],times;
int ver[2*size],v[size],Next[2*size],head[size];
int m,n,tot,t,ans;
int x,y,z;
queue<int> q;
void add(int x,int y)//建树 
    ver[++tot]=y;Next[tot]=head[x];head[x]=tot;

void dfs(int x)//确定dfs序 
    v[x]=1;
    st[x]=++times;
    for(int i=head[x];i;i=Next[i])
        int y=ver[i];
        if(v[y]) continue;
        dfs(y);
    

void bfs()//lca的预处理 
    q.push(0);d[0]=1;
    while(q.size())
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=Next[i])
            int y=ver[i];
            if(d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            f[y][0]=x;
            for(int j=1;j<=t;++j)
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            
            q.push(y);
        
    

bool cmp(node a,node b)//排序 
    if(a.d==b.d) return st[a.g]<st[b.g];
    else return a.d<b.d;

int lca(int x,int y)//lca 
    if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
    for(int i=t;i>=0;--i)
        if(d[f[y][i]]>=d[x])
            y=f[y][i];
         
    
    if(x==y) return x;
    for(int i=t;i>=0;--i)
        if(f[x][i]!=f[y][i])
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        
    
    return f[x][0];

void find(int x)//计算答案
    v[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=Next[i])
        int y=ver[i];
        if(v[y]) continue;
        find(y);
        book[x]+=book[y];
    

int main()
    scanf("%d %d",&n,&m);
    t=((int)(log(n)/log(2)))+1;
    for(int i=1;i<n;++i)//建边 
        scanf("%d",&a[i]);
        add(a[i],i);
        add(i,a[i]);
    
    for(int i=1;i<=m;++i)
        scanf("%d %d",&b[i].g,&b[i].d);
    
    dfs(0);
    bfs();
    sort(b+1,b+1+m,cmp);//按照编号排序，其次按dfs序排序  
    int pre=-1;//当前点的上一个 
    for(int i=1;i<=m;++i)//核心代码
        int x=b[i].g;
        book[x]++;
        if(pre!=-1) book[lca(pre,x)]--;//如果编号相同并且地点不同就减去lca 
        pre=x;
        if(i<m&&b[i].d!=b[i+1].d)pre=-1;//判断地点是否相同 
    
    memset(v,0,sizeof(v));
    find(0);
    for(int i=0;i<n;++i)
        printf("%d\n",book[i]);
    
    return 0;

同机房一位大佬的ac代码（暴力优化跑过！）

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,m,arr[100010],ans[100010],sum[100010],tmp;
int pd[100010];
struct dat
    int d,g;
;
dat mov[100010];
bool cmp(dat a,dat b)
    if(a.d!=b.d) return a.d<b.d;
    return a.g>b.g;

int main()
    scanf("%d%d",&n,&m);
    --n;
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&arr[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&mov[i].g),scanf("%d",&mov[i].d);
    sort(mov+1,mov+1+m,cmp);
    ++m;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
        if(mov[i].d!=mov[i-1].d)
            if(mov[i].d!=mov[i+1].d)
                sum[mov[i].g]++;
                continue;
            
            ++ans[0];
        
        tmp=mov[i].g;
        while(tmp)
            if(pd[tmp]==mov[i].d) break;
            pd[tmp]=mov[i].d;
            ++ans[tmp];
            tmp=arr[tmp];
        
    
    --ans[0];
    for(int i=n;i>=1;--i)
        sum[arr[i]]+=sum[i];
        ans[i]+=sum[i];
    
    ans[0]+=sum[0];
    for(int i=0;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;