拉普拉斯分布的随机数

Posted 2023-01-02 liam-ji

一、功能

产生拉普拉斯分布的随机数。

二、方法简介

1、产生随机变量的组合法

将分布函数\\(F(x)\\)分解为若干个较为简单的子分布函数的线性组合
\\[ F(x)=\\sum_i=1^Kp_iF_i(x) \\]
其中 $ p_i> 0 ?(\\forall i) $ ，且 $ \\sum_i=1^Kp_i=1 $ ，\\(F(x)\\)是分布函数。

定理 若随机变量\\(\\xi \\sim s\\)离散分布\\(\\left \\ p_i \\right \\\\)，即\\(P(\\xi =i)=p_i\\)，并且\\(z \\sim F_\\xi (x)\\)，取\\(z=x\\)，则\\(z \\sim F(x) = \\sum_i=1^Kp_iF_i(x)\\)

证明 \\(z\\)的分布函数为
\\[ P(z \\leqslant t) = P((z \\leqslant t) \\cap \\bigcup_i=1^K( \\xi = i)) \\= \\sum_i=1^KP(z \\leqslant t, \\xi =i) \\= \\sum_i=1^KP(\\xi = i)P(z \\leqslant t \\mid \\xi =i) \\= \\sum_i=1^Kp_iF_i(t)=F(t) \\]

定理证毕。

根据此定理，我们给出产生随机数的组合算法如下：

1. 产生一个正随机数\\(\\xi\\)，使得\\(P(\\xi = i) = p_i \\ (i = 1,2,...,K)\\)；
2. 在\\(\\xi = i\\)时，产生具有分布函数\\(F_i(x)\\)的随机变量\\(x\\)。

该算法中首先以概率\\(p_i\\)选择子分布函数\\(F_i(x)\\)，然后取\\(F_i(x)\\)的随机数作为\\(F(x)\\)的随机数。

2、产生拉普拉斯分布随机数的方法

拉普拉斯分布的概率密度函数为
\\[ f(x) = \\frac12\\beta e^-\\frac\\left | x \\right |\\beta \\]
Laplace分布的均值为0，方差为\\(2\\beta ^2\\)。拉普拉斯分布也称为双指数分布。

根据上述的组合算法，产生拉普拉斯分布随机数的方法为：

1. 产生均匀分布的随机数\\(u_1\\)和\\(u_2\\)，即\\(u_1,u_2 \\sim U(0,1)\\)；
2. 计算\\(x = \\left\\\\beginmatrix -\\beta \\ ln(1 - u_1) & u_1 \\leqslant 0.5 \\\\ \\beta \\ ln(u_2) & u_2 > 0.5 \\endmatrix\\right.\\)

三、使用说明

使用C语言实现产生拉普拉斯分布随机数的方法：

#include "math.h"
#include "uniform.c"

double laplace(double beta, long int *s)

    u1 = uniform(0.0, 1.0, s);
    u2 = uniform(0.0, 1.0, s);
    if(u1 <= 0.5)
        x = -beta * log(1.0 - u2);
    else
        x = beta * log(u2);
    return(x);

uniform.c文件参见均匀分布的随机数