[CSP-S模拟测试]:Permutation（线段树+拓扑排序+贪心）

Posted 2022-12-31 wzc521

题目描述

你有一个长度为$n$的排列$P$与一个正整数$K$
你可以进行如下操作若干次使得排列的字典序尽量小
对于两个满足$|i−j|\geqslant K$且$|P_i−P_j|=1$的下标$i$与$j$，交换$P_i$与$P_j$

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输入格式

第一行包括两个正整数$n$与$K$
第二行包括$n$个正整数，第$i$个正整数表示$P_i$

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输出格式

输出一个新排列表示答案
输出共$n$行，第$i$行表示$P_i$

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样例

样例输入：

8 3
4 5 7 8 3 1 2 6

样例输出：

1
2
6
7
5
3
4
8

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数据范围与提示

对于前$20\%$的数据满足$n\leqslant 6$
对于前$50\%$的数据满足$n\leqslant 2,000$
对于$100\%$的数据满足$n\leqslant 500,000$

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题解

这是一道暴力有$90$分的题……

先来考虑如何换，我们每扫到一个位置，发现比它小$1$的在它右边距离大于$K$的位置就交换，不断的扫整个序列，直到无法交换为止，这时候肯定是最优的。

交换不大于$n$次，瓶颈就在于如何快速查询交换的位置。

首先，我们设$pos[i]$表示权值为$i$的数字在哪儿，即先当与权值与下标调换。

那么，我们另$P_i$的字典序最小也就是另$pos[i]$的字典序最小，则操作转化为：相邻元素且权值差$\geqslant K$可以交换。

接着，问题开始抽象化，我们考虑建图……

先来考虑暴力建边，如果$i$与后面的$j$相比，$abs(pos[i]-pos[j])<K$则其顺序已经确定，那么可以相互连边，然后跑拓扑。

但是暴力建边显然无论是时间还是空间都会死掉（还是$90$分……）

那么我们靠有些边是无用的，即如果$A\rightarrow B$且$B\rightarrow C$，那么$A\rightarrow C$这条边就是无用的，但是显然我们现在的策略无法避免，考虑如何处理。

这种情况我们一般都考虑倒着做，因为$pos[i]$连向$(pos[i]-K,pos[i])\cup(pos[i],pos[i]+K)$，但是我们只需要分别连向两个区间内下标最小的那个，用线段树快速查询即可。

时间复杂度：$\Theta(n\log n)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
#define L(x) x<<1
#define R(x) x<<1|1
using namespace std;
struct recint nxt,to;e[1000001];
int head[500001],cnt;
int n,K;
int tr[2000001];
int pos[500001],du[500001];
int ans[500001];
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
void add(int x,int y)

	e[++cnt].nxt=head[x];
	e[cnt].to=y;
	head[x]=cnt;

void pushup(int x)tr[x]=min(tr[L(x)],tr[R(x)]);
void insert(int x,int l,int r,int k,int w)

	if(l==r)tr[x]=w;return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(k<=mid)insert(L(x),l,mid,k,w);
	else insert(R(x),mid+1,r,k,w);
	pushup(x);

int ask(int x,int l,int r,int L,int R)

	if(r<L||R<l)return 0x3f3f3f3f;
	if(L<=l&&r<=R)return tr[x];
	int mid=(l+r)>>1;
	return min(ask(L(x),l,mid,L,R),ask(R(x),mid+1,r,L,R));

int main()

	scanf("%d%d",&n,&K);
	memset(tr,0x3f,sizeof(tr));
	for(int i=1;i<=n;i++)int a;scanf("%d",&a);pos[a]=i;
	for(int i=n;i;i--)
	
		int x;
		x=ask(1,1,n,pos[i]+1,min(pos[i]+K-1,n));
		if(x!=0x3f3f3f3f)add(pos[i],pos[x]);du[pos[x]]++;
		x=ask(1,1,n,max(1,pos[i]-K+1),pos[i]-1);
		if(x!=0x3f3f3f3f)add(pos[i],pos[x]);du[pos[x]]++;
		insert(1,1,n,pos[i],i);
	
	int now=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!du[i])q.push(i);
	while(!q.empty())
	
		int x=q.top();q.pop();
		ans[x]=++now;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
			if(!(--du[e[i].to]))q.push(e[i].to);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;

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rp++