AGC 039F - Min Product Sum
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了AGC 039F - Min Product Sum相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
考虑枚举行列的 \(n+m\) 元组,表示该行 / 列的最小值。
这样的方案数可以容斥轻松算出。
发现这样本质不同的限制有 \(2(n+m)\) 种:
当前行 / 列 \(> t \to \ge t+1\)
当前行 / 列 \(\ge t\)
每个位置上的限制是行列上的较大值,贡献是较小值。
\(f[cur][i][j]\) 表示当前考虑到加入 \(\ge cur\) 的限制,目前已经确定了 \(i\) 行 \(j\) 列上面的值。
依次加入,计算贡献即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,K,mod;
inline int add(int a,int b)a+=b;return a>=mod?a-mod:a;
inline int sub(int a,int b)a-=b;return a<0?a+mod:a;
inline int mul(int a,int b)return 1ll*a*b%mod;
inline int qpow(int a,int b)int ret=1;for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))if(b&1)ret=mul(ret,a);return ret;
/* math */
const int N = 110;
int bin[N][N];
int c=0,f[2][N][N],cst[N][N];
int fac[N], ifac[N], pw[N][N*N];
int main()
cin >> n >> m >> K >> mod;
for(int i=0;i<=K;i++)
pw[i][0]=1;for(int j=1;j<=n*m;j++)pw[i][j]=mul(pw[i][j-1],i);
fac[0]=ifac[0]=1;for(int i=1;i<=max(n,m);i++)fac[i] = mul(fac[i-1],i);
ifac[max(n,m)]=qpow(fac[max(n,m)],mod-2);for(int j=max(n,m)-1;j;j--)ifac[j]=mul(ifac[j+1],j+1);
f[c][0][0]=1;
for(int D = 1;D<=K;D++)
c^=1;memset(f[c],0,sizeof(f[c]));
for(int j=0;j<=n;j++)
for(int k=0;k<=m;k++)
cst[j][k] = mul(mul(ifac[j],pw[D-1][j*(m-k)]), mul(pw[K-D+1][j*k], j%2?mod-1:1));
for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=i;k++)
f[c][i][j]=add(f[c][i][j], mul(f[c^1][i-k][j], cst[k][j]));
c^=1;memset(f[c],0,sizeof(f[c]));
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=n;k++)
cst[j][k] = mul(mul(ifac[j],pw[D-1][j*(n-k)]), mul(pw[K-D+1][j*k], j%2?mod-1:1));
for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=j;k++)
f[c][i][j]=add(f[c][i][j], mul(f[c^1][i][j-k], cst[k][i]));
c^=1;memset(f[c],0,sizeof(f[c]));
for(int j=0;j<=n;j++)
for(int k=0;k<=m;k++)
cst[j][k] = mul(mul(ifac[j],pw[D][j*(m-k)]), mul(pw[K-D+1][j*k], 1));
for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=i;k++)
f[c][i][j]=add(f[c][i][j], mul(f[c^1][i-k][j], cst[k][j]));
c^=1;memset(f[c],0,sizeof(f[c]));
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=n;k++)
cst[j][k] = mul(mul(ifac[j],pw[D][j*(n-k)]), mul(pw[K-D+1][j*k], 1));
for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=j;k++)
f[c][i][j]=add(f[c][i][j], mul(f[c^1][i][j-k], cst[k][i]));
cout << mul(f[c][n][m], mul(fac[n],fac[m])) << endl;
以上是关于AGC 039F - Min Product Sum的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
AtCoder AGC039F Min Product Sum (容斥原理组合计数DP)
AtCoder Grand Contest 039 F: Min Product Sum
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