主定理复习

Posted 2022-12-30 santiego

主定理复习

符号

\(\Theta\)，读西塔，严格等于
\(O\)，读殴，上界，贴紧为未知
\(o\)，读殴，小于，不贴紧
\(\Omega\)，下界，大于等于，贴近未知
\(w\)，读同上，下界，大于，不贴紧

假设有递推公式
\(T(n)=aT(\fracnb)+f(n)\)

三种情况：

• 对某个数\(\varepsilon>0\)，有\(f(n)=O(n^(log_ba)-\varepsilon)\)，则\(T(n)=\Theta(n^log_ba)\)
• 若存在常数\(k\ge0\)，有\(f(n)=\Theta(n^log_balog_2^kn)\)，则\(T(n)=\Theta(n^log_balog_2^k+1\,n)\)
• 若存在常数\(\varepsilon>0\)，有\(f(n)=\Omega(n^log_ba+\varepsilon)\)，且对于某个常数\(c<1\)和所有足够大的\(n\)有\(af(\fracnb)\le cf(n)\)，则\(T(n)=\Theta(f(n))\)

例子

\(T(n)=9T(\fracn3)+n\)
有\(a=9,b=3,f(n)=n\)，因为有\(\varepsilon =1, f(n)=n=O(n^log_39-1)\)，满足情况1，所以\(T(n)=\Theta(n^2)\)

[NOIP2017初赛] \(T(n)=2T(n/2)+nlogn,T(1)=1\)
有\(a=2,b=2,k=1,f(n)=\Theta(nlogn)\)，所以\(T(n)=\Theta(nlog_2^2n)\)

[NOIP2016初赛] \(T(n)=2T(n/4)+\sqrtn,T(1)=1\)
有\(a=2,b=4,k=0,f(n)=\sqrtn=\Theta(n^log_42log_2^0n)\)，所以\(T(n)=\Theta(\sqrtnlog_2n)\)