证明xcosx无周期

Posted 2022-12-29 nickchen121

假设\(xcos\,x\)有周期，依据周期函数的规律，可得
\[ \beginaligned xcos\,x & = (x+T)cos\,(x+T) \& = (x+T)cos\,xcos\,T - sin\,xsin\,T \& = xcos\,xcos\,T - xsin\,xsin\,T + Tcos\,xcos\,T - Tsin\,xsin\,T \\endaligned \]
上式需要成立，则\(cos\,T = 1并且Tcos\,xcos\,T-Tsin\,xsin\,T-xsin\,xsin\,T=0\)

假设\(cos\,T=1\)成立，则\(sin\,T=1-cos^2\,T=0\)，则\(Tcos\,xcos\,T-Tsin\,xsin\,T-xsin\,xsin\,T=Tcos\,x=0\)

\(Tcos\,x=0\)发现只有\(T=0\)时，\(Tcos\,x=0\)条件才成立，因此\(xcos\,x\)函数没有周期