APIO2014Split the sequence

Posted 2022-12-29 llcsblog

\(ProblemLink\)

题意

你正在玩一个关于长度为\(n\)的非负整数序列的游戏。这个游戏中你需要把序列分成 \(k+1\) 个非空的块。为了得到 \(k+1\)块，你需要重复下面的操作\(k\)次：

1. 选择一个有超过一个元素的块（初始时你只有一块，即整个序列）
2. 选择两个相邻元素把这个块从中间分开，得到两个非空的块。

每次操作后你将获得那两个新产生的块的元素和的乘积的分数。你想要最大化最后的总得分。

Solution

显然每一对\(i, j\), 如果它们不在同一个块中, 就会产生 \(a_i*a_j\) 的贡献.

显然有\(\Large f_p,i=\max(f_p-1,j+s_j(s_i-s_j))\)

设转移\(j,k\),j优于k

\(j<k\)

\(\large f_p-1,j+(s_j*(s_i-s_j))>f_p-1,k+(s_k*(s_i-s_k))\)

\(\large f_p-1,j-s_j^2+s_is_j>f_p-1,k-s_k^2+s_is_k\)

\(\huge s_i>\fracf_p-1,k- f_p-1,j+s_j^2-s_k^2s_j-s_k\)

直接上斜率优化即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define IL inline
#define RG register
#define gi geti<int>()
#define gl geti<ll>()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
template<typename T>IL bool chkmax(T &x,const T &y)return x<y?x=y,1:0;
template<typename T>IL bool chkmin(T &x,const T &y)return x>y?x=y,1:0;
template<typename T>
IL T geti()

    RG T xi=0;
    RG char ch=gc;
    bool f=0;
    while(!isdigit(ch))ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
    while(isdigit(ch))xi=xi*10+ch-48,ch=gc;
    return f?-xi:xi;

template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)

    if(k<0)k=-k,putchar('-');
    if(k>=10)pi(k/10);
    putchar(k%10+'0');
    if(ch)putchar(ch);

const int N=1e5+7;
int n,k;
ll a[N],f[N][2],s[N];
int pr[N][210],now,pre;
int q[N];
inline ll sqr(ll p)return p*p;
inline double slope(int j,int k)

    if(s[j]==s[k])return -1e18;
    return (f[k][pre]-f[j][pre]+sqr(s[j])-sqr(s[k]))/static_cast<double>(s[j]-s[k]);

int main(void)

    n=gi,k=gi;
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=gi,s[i]=s[i-1]+a[i];
    for(int p=1;p<=k;++p)
    
        q[0]=0;
        int l=0,r=0;    
        now=p&1,pre=now^1;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        
            while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<=s[i])++l;
            int j=q[l];
            f[i][now]=f[j][pre]+(s[i]-s[j])*s[j];
            pr[i][p]=j;
            while(l<r&&slope(q[r],i)<=slope(q[r-1],q[r]))--r;
            q[++r]=i;
        
    
    pi(f[n][now],'\n');
    for(int i=k,w=n;i;--i)pi(w=pr[w][i],' ');
    return 0;