狄利克雷函数为什么不具有最小正周期

Posted 2022-12-28 nickchen121

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• 一、狄利克雷函数
• 二、狄利克雷函数为什么是周期函数
• 三、狄利克雷函数为什么没有最小正周期

一、狄利克雷函数

狄利克雷（Dirichlet）函数如下所示：
\[ D(x) = \begincases 1,\quadx\inQ\,\,\,\,\quad(有理数-》可精确表示两个整数之比的数), \0,\quadx\inQ^C\quad(无理数-》不可精确表示两个整数之比的数), \endcases \]

二、狄利克雷函数为什么是周期函数

周期函数的定义：设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在一个正数\(l\)，使得对于任一\(x\inD\)有\((x\pml)\inD\)且\(f(x+l)=f(x)\)，则称\(f(x)\)为周期函数，\(l\)称为\(f(x)\)的周期（通常指最小正周期）

判断狄利克雷函数为什么是周期函数之前，我们首先明确两件事（中学）：

1. \(有理数 + 正数 = 有理数\)
2. \(无理数 + 正数 = 无理数\)

如果理解了上述两件事，答案就出来了。从狄利克雷函数中，我们可以得知：只要\(x = 有理数\)，则\(f(x)=1\)；只要\(x=无理数\)，则\(f(x)=0\)，那任意一个正有理数（正数）r都可以是狄利克雷函数的周期。

三、狄利克雷函数为什么没有最小正周期

上文推出任意一个正有理数\(r\)都是狄利克雷函数的周期，由于不存在最小的正有理数，因此狄利克雷函数也就没有最小正周期。