[毒瘤题]玛里苟斯：线性基，表达式分析，测试点分治

Posted 2022-12-28 hzoi-deepinc

魔法之龙玛里苟斯最近在为加基森拍卖师的削弱而感到伤心，于是他想了一道数学题。

S 是一个可重集合，S=a₁,a₂,…,a_n。等概率随机取 S 的一个子集 A=a_i1,…,a_im。

计算出 A 中所有元素异或和 x, 求 x^k 的期望。

如果结果是整数，直接输出。如果结果是小数（显然这个小数是有限的），输出精确值（末尾不加多余的 0）。

1≤n≤100000，1≤k≤5，ai≥0。最终答案小于 2⁶³ 。k=1,2,3,4,5 各自占用 20% 的数据

 

可视的题面一直不在线。。。求xk的期望也是惊了。

但是这是大神题。。。同时也是傻逼题。

说它傻逼是因为出题人&数据真是毒瘤到极致。

首先点明几个坑点：

1）这题正解就是测试点分治。

2）不允许任何精度误差，见输出格式

3）虽然保证答案不爆long long，但是中间运算量会爆

出题人又反人类了。

首先我们明确两个本题的特点：

一个是在albus就是要第一个出场那道题里就用到的结论。

另一个是，因为最终的答案不会超过2⁶³，而你的计算是要做k次方的，所以输入的数不会超过2^64/k。

还有虽然让你输出精确小数，但是由第一条结论，所以其实答案撑死是一个.5结尾。

 

好，开始讲。

 

先考虑分数最多而相对简单的k>=3，由第二条结论，这时候线性基里的数不超过21个。

那么就可以状压枚举线性基可以表示的所有数了，运用结论一，它们是等概率的。

概率也可以直接算，貌似挺简单？

爆零惊喜！！！

因为ans一直在累加，我说过。。。它中间运算量炸long long了。。。

所以我手动模拟了一下__int128(毕竟考试不让用)，开两个变量，以1<<cnt为进制手动做伪高精。

 

k=1的点也勉强可以做？？分析一下吧。

因为每一种子集都会被考虑到，所以考虑我们逐位考虑单独的贡献。

如果所有数的这一位都是0，那么所有的异或和结果都是0。

只要有些数的这一位是1，那么不管到底有几个数，选奇数个的概率和选偶数个完全相等，所以贡献是这一位/2。

那么整个数的贡献就是所有数的或和的一半。

你以为你拿到20分了？

15分惊喜！！！

我再说一遍，答案不超过2⁶³，不代表计算量不会爆。

因为你最后除2了，所以之前你会得到2⁶⁴。

然后你要是开long long的话就负了。。。

跪模（裱）出题人。

 

好吧，你活过来了。

还差最后一个k=2。

二次方，不能状压，也不能想刚才那么简单做，怎么办？

平方式展开还是经常用的。

这时候线性基有32位数。

我们不断枚举每一位的贡献肯定是不够的了，所以我们枚举两位。

在任意子集中考虑两位，它们的贡献是2ⁱ2^jb_ib_j，b表示异或和二进制下这一位是1还是0。

和k=1类似我们考虑所有情况（因为每种子集都会出现）

如果两位数都没有在这n个数字里出现过，那么显然没有贡献。

接下来考虑在选出的子集里，第i位为1第j位为0的有a个，反之的有b个，都为1的有c个。

把它们异或起来的结果就是(a+c&1,b+c&1)。

 

如果那个a类数有0个，b类数有0个，那么你只在c类数里面选，上面说过选出奇数个偶数个的概率相等，所以此时有1/2的概率贡献答案。

 

如果a类有0个，b类有>0个，那么

1）如果c是奇数，为了有贡献，b必须是偶数，概率是1/2×1/2=1/4

2）如果c是偶数，那么第j位一定没贡献，所以贡献的概率是0

所以a类有0个，b类有>0个时贡献的概率是1/4

 

如果a类有>0个，b类有0个，同理也是1/4

 

如果ab都>0。

1）选偶数个c。那么ab都是奇数。贡献的概率是1/2×1/2×1/2=1/8

2）选奇数个c。那么ab都是偶数。贡献的概率是1/2×1/2×1/2=1/8

那么在ab都大于0时贡献的总概率是1/8+1/8=1/4

 

可以合并一下，就是如果ab都不存在贡献的概率就是1/2，否则就是1/4。

然后就是代码实现的问题了，求个期望就好了。

终于可以AC了。

爆零惊喜！！！

中间运算量有一次爆了long long。而且我位运算的左移写的是1<<x而不是1ll<<x。。。

 

目前为止见过的最毒瘤。。。

在颓了一半题解之后又WA了一页之后终于干掉了。。。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 struct bigint
 6     int a[102],ws;
 7     void r()
 8         for(int i=ws-1;i;--i)if(a[i]&1)a[i-1]+=10;
 9         for(int i=ws-1;~i;--i)a[i]>>=1;
10         if(ws&&!a[ws-1])ws--;
11     
12     int A()return a[0]&1;
13 n;
14 char s[105];int k;const int mod[4]=1,10,100,1000;
15 void mult(long long &a,long long b)long long modd=1000000000;
16     long long a1=a/modd,a2=a%modd,b1=b/modd,b2=b%modd;
17     b=a2*b2;a=(a1*b2+a2*b1)%modd;a=a*modd+b;
18     while(a&&a%10==0)a/=10;
19 
20 int main()//freopen("ex_num2.in","r",stdin);freopen("my.out","w",stdout);
21     int t,l;long long ans,res;scanf("%d",&t);//long long A=2000000001;mult(A,A);printf("%lld\\n",A);
22     while(t--)
23         scanf("%s%d",s,&k);l=strlen(s);
24         ans=1;res=0;
25         for(int i=max(0,l-k-k);i<=l-1;++i)res=res*10+s[i]-48;
26         for(int i=1;i<=res;++i)mult(ans,i);
27         res=1;for(int i=1;i<=mod[k];++i)mult(res,i);
28         n.ws=max(0,l-k-k);
29         for(int i=0;i<n.ws;++i)n.a[i]=s[l-i-k-k-1]-48;
30         for(;n.ws;n.r(),mult(res,res))if(n.A())mult(ans,res);
31         ans%=mod[k];
32         for(int i=k;i;--i)if(ans/mod[i-1]==0)putchar(‘0‘);else break;if(ans)printf("%lld\\n",ans);
33     
34 

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