ARC086 E Smuggling Marbles

Posted 2022-12-28 llcsblog

题目大意

\\(ProblemLink\\)

\\(Sunke\\)有一棵N + 1个点的树，其中0为根，每个点上有0或1个石子，\\(Sunke\\)会不停的进行如下操作直至整棵树没有石子：

把0上面的石子从树上拿走放入口袋；

把每个点上的石子移到其父亲上；

对于每个点，若其石子数\\(\\gt1\\)，则移除该点所有石子（不 放入口袋）。

求对于所有\\(2^N+1\\)种放置石子的方案，最终\\(Sunke\\)口袋中石子数的和为多少，对1000000007取模。

\\(1\\le N<200000\\)，有一部分数据满足\\(1\\le N <2000\\)。

题解

显然深度不同的每一层之间不会互相影响,于是我们可以分开算答案

设\\(dp[u][0/1]\\)表示\\(u\\)有0/1个石子的方案数
\\[ 设T= \\prod\\limits_v\\in son(u) dp[v][0]\\\\dp[u][1]=\\sum\\limits_v\\in son(u)\\fracTdp[v][0]dp[v][1]\\\\dp[u][0]=\\prod\\limits_v\\in son(u) (dp[v][0]+dp[v][1])-dp[u][1]\\\\]
其实就是容斥,用全部的方案减去1的方案

这个东西就可以用长链剖分的套路去优化

我们每次优先合并长链的深度相同的\\(dp\\)值

最后的复杂度是\\(O(n)\\)的.

听说建颗虚树也可以做

但我不会.

/*
@Date    : 2019-10-05 13:07:36
@Author  : Adscn ([e-mail])
@Link    : https://www.cnblogs.com/LLCSBlog
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define IL inline
#define RG register
#define gi geti<int>()
#define gl geti<ll>()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
template<typename T>IL bool chkmax(T &x,const T &y)return x<y?x=y,1:0;
template<typename T>IL bool chkmin(T &x,const T &y)return x>y?x=y,1:0;
template<typename T>
IL T geti()

    RG T xi=0;
    RG char ch=gc;
    bool f=0;
    while(!isdigit(ch))ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
    while(isdigit(ch))xi=xi*10+ch-48,ch=gc;
    return f?-xi:xi;

template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)

    if(k<0)k=-k,putchar('-');
    if(k>=10)pi(k/10);
    putchar(k%10+'0');
    if(ch)putchar(ch);

typedef pair<ll,ll> pll;
int n;
const int N=2e5+7,P=1e9+7;
ll ksm(ll a,int b,ll c=1)

    for(;b;b>>=1,a=a*a%P)if(b&1)c=c*a%P;
    return c;

ll inv(ll x)return ksm(x,P-2);
struct edgeint v,nxt;e[N];
int head[N],cnt;
inline void add(int u,int v)e[++cnt]=(edge)v,head[u],head[u]=cnt;
inline void init()memset(head,cnt=-1,sizeof head);
vector<pll>dp[N];
ll All[N],T[N],One[N];
int id[N],num,d[N];
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define For_tree(x) for(int _i=head[x],v=e[_i].v;~_i;_i=e[_i].nxt,v=e[_i].v)
inline void dfs(int x)

    int hson=n+1,tot=0;
    For_tree(x)
    
        dfs(v);++tot;
        if(d[v]>d[hson])hson=v;
    
    if(hson!=n+1)id[x]=id[hson],d[x]=d[hson]+1;
    else id[x]=++num;
    dp[id[x]].push_back(mp(1,1));
    if(tot==1)return;
    for(int i=0;i<d[x];++i)All[i]=1,T[i]=1,One[i]=0;
    int dep;
    For_tree(x)
        for(int i=0;i<=d[v];++i)
        
            dep=d[hson]-d[v]+i;
            pll t=dp[id[v]][i];
            (All[dep]*=(t.fi+t.se))%=P,(T[dep]*=t.fi)%=P;
        
    For_tree(x)
        for(int i=0;i<=d[v];++i)
        
            dep=d[hson]-d[v]+i;
            pll t=dp[id[v]][i];
            (One[dep]+=T[dep]*inv(t.fi)%P*t.se%P)%=P;
        
    for(int i=0;i<d[x];++i)
    
        pll &t=dp[id[x]][i];
        t.fi=(All[i]-One[i]+P)%P,t.se=One[i];
    

int dep[N],tot[N],fa[N];
int main(void)

    n=gi;init();
    for(int i=1;i<=n;++i)fa[i]=gi,add(fa[i],i),dep[i]=dep[fa[i]]+1,++tot[dep[i]];
    d[n+1]=-1,++tot[0];
    dfs(0);
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=d[0];++i)
        pll t=dp[id[0]][i];
        (ans+=t.se*ksm(2,n+1-tot[d[0]-i])%P)%=P;
    
    pi(ans);
    return 0;