P3515 [POI2011]Lightning Conductor

Posted 2022-12-27 hs-black

首先进行一步转化

$a_j \leq a_i + q - sqrt(abs(i - j))$

$a_i + q \geq a_j + sqrt(abs(i-j))$

即 $q = max (a_j + sqrt(abs(i-j))) - a_i $

我们对$i \geq j 和 j > i$ 分类讨论, 其实解决一种情况后将序列翻转再做一遍即可

有一种O($n^2$)的dp暴力应该不难想到

那么我们现在思考如何以比较优秀的时间复杂度解决

这里涉及到决策单调性

简单的说, 对于i来说, 它的答案来源是另一点j,

那么所有答案来源排成的序列$j_1,j_2,j_3,\cdots j_n$ 具有单调性

比如: 1112255566666666678888

那么我们可以考虑对于每一个i, 它可以成为哪一段区间的答案

即一个三元组(l, r, i) 对应i控制l到r

可以二分+栈(或队列)处理

二分i和栈顶答案相等临界, 若临界小于l则弹栈重复操作

否则将新的(l, r, i) 压倒栈中

代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 500080;
struct node
    ll l, r, x;
;
deque<node> q;
ll read() 
    ll x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) 
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    
    while (isdigit(c)) 
        x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
        c = getchar();
    
    return x * f;
 //快读
ll n;
long double ans[N], a[N];
bool check(ll x,ll y,ll k) 
    return a[x] + sqrt(k - x) > a[y] + sqrt(k - y);

void work(void) 
    node k = (node)1, n, 1; 
    for (ll i = 2;i <= n; i++) 
        if (a[i] < a[k.x]) continue; //剪枝, 如果满足则它一定不会有贡献
        ll l = i, r = n, mid;
        while (l <= r) 
            mid = (l + r) >> 1;
            if (check(k.x, i, mid)) l = mid + 1;
            else r = mid - 1;
        //二分
        if (l == n + 1) continue;
        if (l <= k.l) 
            k = q.front();
            q.pop_front();
            i--;
            continue;
        //弹栈
        k.r = r;
        q.push_front(k);
        k = (node)l, n, i; //压栈
    
    q.push_front(k);
    k = q.back();
    q.pop_back();
    for (ll i = 1;i <= n; i++) 
        if (k.r < i) 
            k = q.back();
            q.pop_back();
        
        ans[i] = max(ans[i], a[k.x] + sqrt(i - k.x)); //要做两次,所以取max
    

        
int main() 
    n = read();
    for (int i = 1;i <= n; i++) 
        a[i] = read(), ans[i] = a[i];
    work();
    for (int j = 1;j << 1 <= n; j++) 
    swap(a[j], a[n-j+1]), swap(ans[j], ans[n-j+1]);
    //翻转
    while (q.size()) q.pop_front();
    work();
    ///*
    for (int i = n;i >= 1; i--)
        printf ("%d\n", int(ceil(ans[i]) - a[i]));
        //*/
    return 0;