图的计数

Posted 2022-12-27 hs-black

形式：求n个点____ 的个数

有标号无向图的个数（不一定联通）：$2^C_n^2$

证明显然

有标号无向联通图个数：

设g(x)为不一定联通图的个数， f(x) 为连通图个数

枚举1号点所在联通块的大小

$g(x) = \\displaystyle \\sum_i=1^nn - 1 \\choose i - 1f(i) * g(n - i)$

最后将$g(x) = 2^C_n^2$带进去即可
（多项式我不会。。。）

所有点度数都是偶数的有标号图（不一定联通） ： $2^C_n-1^2$

可以将1-n-1的点任意连起来

可以证明一个图中度数为奇数的点有偶数个

那么将点n将1-n-1度数为奇的点连起来

所有的点度数都将成为偶数

所有点度数都是偶数的有标号图（联通） ：

类似的

设g(x)为不一定联通图的个数， f(x) 为连通图个数

枚举1号点所在联通块的大小

$g(x) = \\displaystyle \\sum_i=1^nn - 1 \\choose i - 1f(i) * g(n - i)$

$f(x) = g(x) - \\displaystyle \\sum_i=1^n-1n - 1 \\choose i - 1f(i) * g(n - i)$

无标号有根树：$ n ^ n-2$

也可以说n个点完全图生成树的个数

引理： prufer序列

prufer是一种无根树的编码表示， 对于一棵n节点无根树，唯一对应一个长度为n-2的序列

理解：prufer将树的n-2个父亲节点（可重复）加上神奇的构造方式表示每个父亲的儿子， 即表示了每条边；

（1） 无根树转prufer序列

操作：每次取叶子节点（度数为1）中标号最小的一个，将它的父亲节点加入序列， 并将其删除

如图的序列为： 3 5 1 3

用set实现

有一个性质： 某个编号出现的次数等于这个节点在无根树中的度数

（2）prufer序列转无根树

设节点集合v=1,2,3...n, prufer序列集合A=$a_1,a_2...,a_n-2$

每次取出prufer序列最前面的编号u， 找到v中最小的且未在A中的点v，
将u，v连边， 在两个集合中分别删去它们；
依然用set搞定

由此说明任意一个n-2序列都可得到一棵不同的无根树

无根树的个数为：$ n ^ n-2$

一个有趣的推广是，n个节点的度依次为D1, D2, …, Dn的无根树共有(n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]个，因为此时Prüfer编码中的数字i恰好出现Di-1次。

有标号有根树： $ n ^ n-1$

即每棵无根树的每个节点都可以当根， 再乘上n即可

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