树状数组从入门到入土

Posted 2022-12-27 phemiku

1.友好入门部分：

我们为什么使用树状数组？

 （from hzwer.com）

如果给定一个数组，要你求里面所有数的和，一般都会想到累加。但是当那个数组很大的时候，累加就显得太耗时了，时间复杂度为O(n)，并且采用累加的方法还有一个局限，那就是，当修改掉数组中的元素后，仍然要你求数组中某段元素的和，就显得麻烦了。所以我们就要用到树状数组，他的时间复杂度为O（lgn），相比之下就快得多。下面就讲一下什么是树状数组：

一般讲到树状数组都会少不了下面这个图：

下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律：

据图可知：c1=a1，c2=a1+a2，c3=a3，c4=a1+a2+a3+a4，c5=a5，c6=a5+a6，c7=a7，c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，c9=a9，c10=a9+a10，c11=a11……..c16=a1+a2+a3+a4+a5+…….+a16。

分析上面的几组式子可知，当 i 为奇数时，ci=ai ；当 i 为偶数时，就要看 i 的因子中最多有二的多少次幂，例如，6 的因子中有 2 的一次幂，等于 2 ，所以 c6=a5+a6（由六向前数两个数的和），4 的因子中有 2 的两次幂，等于 4 ，所以 c4=a1+a2+a3+a4（由四向前数四个数的和）。

（一）有公式：cn=a(n-a^k+1)+………+an（其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数）。

那么，如何求 a^k 呢？求法如下：

int lowbit(int x)

     return x&(-x);    

 

 

lowbit（）的返回值就是 2^k 次方的值。

求出来 2^k 之后，数组 c 的值就都出来了，接下来我们要求数组中所有元素的和。

（二）求数组的和的算法如下：

（1）首先，令sum=0，转向第二步；

（2）接下来判断，如果 n>0 的话，就令sum=sum+cn转向第三步，否则的话，终止算法，返回 sum 的值；

（3）n=n – lowbit（n）（将n的二进制表示的最后一个零删掉），回第二步。

代码实现：

 

 

 

 

 

 

C++

 

int Sum(int n)

    int sum=0;
    while(n>0)
    
         sum+=c[n];
         n=n-lowbit(n);
      
    return sum;

 

（三）当数组中的元素有变更时，树状数组就发挥它的优势了，算法如下（修改为给某个节点 i 加上 x ）：

（1）当 i<=n 时，执行下一步；否则的话，算法结束;

（2）ci=ci+x ，i=i+lowbit（i）（在 i 的二进制表示的最后加零），返回第一步。

代码实现：

 

 

 

 

 

 

C++

void update(int i,int x)

     while(i<=n)
     
          c[i]=c[i]+x;
          i=i+lowbit(i);