Nim博弈&&POJ1704

Posted 2022-12-26 lfri

Nim博弈

题目

有n堆物品，两人轮流取，每次取某堆中不少于1个，先取完者胜。

分析

经典问题，该问题的策略也成为了许多问题的基础。

要判断游戏的胜负只需要异或运算就可以了，有以下结论：

• $a_1 \ xor \ a_2\ xor ...  \ xor a_n \neq 0$，必胜态
• $a_1 \ xor \ a_2\ xor ...  \ xor a_n =  0$，必败态

为什么是异或运算呢？

//下面这段话为口胡

异或运算能保证必败态只能转移到必胜态，也就是说，当异或和为0时，从某一堆中任取至少一颗石子，异或和就一定会变成非0；

另一方面，异或运算能保证从必胜态一定可转移到必败态，也就是说，当异或和不为0时，可从某一堆中选取合适的石子（至少一个），使得异或和变成0。

应用

问题：一个排成线的格子上放有 $n$ 个棋子，棋子 $i$ 放在左数第 $p_i$ 个格子上。两人轮流选择一个棋子向左移动，每次至少移动一格，但是不允许反超其他的格子，也不允许将两个棋子放在同一个格子内。无法进行操作的一方失败。若两人都采取最优策略，谁会赢？

分析：如果将棋子两两成对当作整体考虑，我们就可以把这个游戏转成Nim游戏。

首先，考虑棋子数为偶数，我们可以两两成对，石子堆中石子的个数就等于两个石子中的间隔。如果间隔们的异或和为0，则先手移动右边的石子，后手根据Nim的策略一定能通过移动右边的石子保持异或和为0；同理，如果异或和不为0，跟Nim异或和不为0一样。除此之外，可发现，移动左边的石子是没有意义的，因为对手会跟着移。

奇数时补充一个形成偶数个。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 10;
int n, a[maxn];

int main()

    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 0;i < n;i++)  scanf("%d", &a[i]);
        if(n&1)  a[n++] = 0;
        sort(a, a+n);
        int res = 0;
        for(int i = 0;i < n-1;i+=2)  res ^= (a[i+1] - a[i] - 1);
        if(res == 0)  printf("Bob will win\n");
        else  printf("Georgia will win\n");