10.5 字符串统计

Posted 2022-12-26 venividivici

题意

定义一个对字符串的操作为删去该串的任意一个连续子串，并把剩下的部分拼接成一个字符串

给定一个字符串\(S\)，请计算有多少个长度为\(N\)的字符串，无论怎样对其进行操作都无法使它成为字符串\(S\)

解法

补集转换一下，答案就是总的字符串个数\(26^N\)减去不合法的字符串个数

不合法的字符串可以看成是在\(S\)串的内部加入连续\(N-S\)个字符形成的

那么，对于每一个\(S\)串中可插入的空位（共\(S+1\)个），我们都能插入\(N-S\)个字符，形成的字符串就有\((S+1)\times 26^N-S\)个。但显然这样形成的字符串是有重复的，考虑不重不漏的计算

可以把长度为\(N-S\)的字符串在\(S\)中的添加视为窗口式的滑动，那么一开始字符串在\(S\)的右端，此时的方案为\(26^N-S\)，窗口向左滑一格，把\(S\)的最右边的元素挤到整个字符串的右端

此时的方案是同样\(26^N-S\)，但这里的方案与前面的方案有重合。我们钦定加进的字符串的第一个元素不同，（因为如果相同，我们可以发现这一层的窗口是被上一层的窗口完全包含的，也就是代表的方案也完全相同）那么也就能计算出与前面的方案没有重合的新方案\(25\times 26^N-S-1\)了

可以发现对于每一个位置与前面的没有重合的方案都是\(25\times 26^N-S-1\)

那么最后的答案即为\(26^N-26^N-|S|-25\times 26^N-|S|-1\times |S|\)