模拟测试60

Posted 2022-12-26 hz-rockstar

T1：

　　约瑟夫问题。

　　经证(da)明(biao)可知，最终答案计算方法是：

　　　　答案由$1$开始，每次加$m$，若大于次数加一，就对次数加一取模。

　　可以$O(1)$计算每次取模的位置，取模不超过$mlogn$次，于是时间复杂度为$O(mlogn)$。

T2：

　　普及：向量叉积：$v_1=(x_1,y_1),v_2=(x_2,y_2) \Rightarrow \vecv_1\times \vecv_2=x_1*y_2-x_2*y_1$

　　然而我只会拆平方干推式子：

　　　　$\large \beginarrayll ans &=& \sum \limits_i=l^r \sum \limits_j=i+1^r (v_i \times v_j)^2 \\ &=& \sum \limits_i=l^r \sum \limits_j=i+1^r (x_iy_j-x_jy_i)^2 \endarray$

　　考虑拆平方：

　　　　$\large \beginarrayll ans &=& \sum \limits_i=l^r \sum \limits_j=i+1^r (x_i^2y_j^2+x_j^2y_i^2-2x_iy_ix_jy_j) \\ &=& \sum \limits_i=l^r \sum \limits_j=i+1^r x_i^2y_j^2 + \sum \limits_i=l^r \sum \limits_j=i+1^r x_j^2y_i^2 - \sum \limits_i=l^r \sum \limits_j=i+1^r 2x_iy_ix_jy_j \\ &=& \sum \limits_i=l^r \sum \limits_j=l^r [i!=j]*x_i^2y_j^2 - \sum \limits_i=l^r \sum \limits_j=l^r [i!=j]*x_iy_ix_jy_j \\ &=& \sum \limits_i=l^r x_i^2 (\sum \limits_j=l^r y_j^2 -y_i^2) - (\sum \limits_i=l^r x_iy_i (\sum \limits_j=l^r x_jy_j - x_iy_i)) \\ &=& \sum \limits_i=l^r x_i^2 \sum \limits_j=l^r y_j^2 - \sum \limits_i=l^r x_i^2y_i^2 - (\sum \limits_i=l^r x_iy_i \sum \limits_j=l^r x_jy_j - \sum \limits_i=l^r x_i^2 y_i^2) \\ &=& \sum \limits_i=l^r x_i^2* \sum \limits_i=l^ry_i^2 - (\sum \limits_i=l^r x_iy_i)^2\endarray$

　　线段树中维护$\sum \limits_i=l^r x_i^2$，$\sum \limits_i=l^r y_i^2$和$\sum \limits_i=l^r x_iy_i$即可。

　　时间复杂度$O((n+m)logn)$。

T3：

　　经典的LCIS(最长公共上升子序列)问题。

　　设$dp[i][j]$为第一个串考虑到第$i$位，第二个串选择第$j$位的最优答案。

　　则有状态转移方程：
　　　　$dp[i][j]=\max \limits_k<j^b_k<a_j\dp[i-1][k]\+1$

　　我们发现第二维只能从小向大转移，所以从小到大枚举，同时更新当前最优答案，直接更新即可。

　　至于方案，记录转移前驱即可。

　　时间复杂度$O(nm)$。