Min-Max 容斥的证明

Posted 2022-12-25 judge

这里有 Min-Max 容斥的证明以及唯一一道博主做过的例题...

上个结论：

\[Min\S\=\sum_T\subseteq S,T\not=\varnothing(-1)^|T|-1Max\T\ \]

\[Max\S\=\sum_T\subseteq S,T\not=\varnothing(-1)^|T|-1Min\T\ \]

具体的证明其实很简单...我们考虑证明其中一个（以第一个为例），另一个可以用类似证法得到结论。咱直接考虑集合内元素不重的情况，因为相同大小我们强制规定他们之间存在大小关系就好了，并不影响结果

那么我们再把元素从小到大排个序，从前往后考虑每个值对答案的贡献...

首先第一个元素有贡献当且仅当集合里只有它一个元素，那么这样的集合只有一个，所以它的贡献有且仅有一次；

对于第二个元素，它除了自己一定要选以外，比他小的元素（这时只有第一个元素）全部可选可不选，总共有 \(2^1=2\) 种方案，并且集合大小为奇数和为偶数的情况各有一次，两者贡献抵消

对于后面的元素，可以用第二个元素类似的思路去想，最后我们发现除第一个元素以外的所有贡献都相互抵消了

当然咱也可以用二项式定理草率地证明一下，然后也能发现贡献相抵了，究其原因就是杨辉三角奇数列和偶数列之差为 0 ，而第一行为 1 是个特例 （因为只有一个元素）

于是乎得证...

例题：按位或

这题里面的期望满足使用 Min-Max 容斥的性质...

题解点 这里