两次bfs求树的直径的正确性

Posted 2022-12-25 tztqwq

结论:离树上任意点\(u\)最远的点一定是这颗树直径的一个端点。

证明：

若点\(u\)在树的直径上，设它与直径两个端点\(x,y\)的距离分别为\(S1\)、\(S2\)，若距离其最远的点\(v\)不是这两个端点，

则\(dist(u,v) > S1 && dist(u,v) > S2\)， 则必有\(S1 + dist(u,v) > S1 + S2 或 S2 + dist(u,v) > S1 + S2\)，这与\((x,y)\)是直径的

假设相悖。

else

\(u\)不在树的直径上，则其到直径最近的一点\(mid\)的距离为\(dist(u,mid)\)，设直径的两端点分别为\(x,y\)。

若距离\(u\)最远的点不是\(x,y\)之一， 设距离\(u\)最远的点为\(v\)，

则路径\(u->v\)会出现如下几种情况：

1.完全经过路径\(u->mid\)

2.完全不经过路径\(u->mid\)

3.不完全经过路径\(u->mid\)

这3种情况都能推出\((x,y)\)不是树的直径的结论。

故结论正确。