多题一解思维发散拓展训练辅导

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了多题一解思维发散拓展训练辅导相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

前言

多题一解是思维训练的好素材。

直曲线相切

案例01【原题】直线\\(y=x\\)上的动点为\\(P\\),函数\\(y=lnx\\)上的动点是\\(Q\\),求\\(|PQ|\\)的最小值。

【变式】直线\\(y=x\\)上的点为\\(P(x,y)\\),函数\\(y=lnx\\)上的点是\\(Q(m,n)\\),求\\(\\sqrt(x-m)^2+(y-n)^2\\)的最小值。

分析:采用平行线法,

设和直线\\(y=x\\)平行且和函数\\(y=lnx\\)相切的直线为\\(y=x+m\\)

技术图片

切点为\\(P_0(x_0,y_0)\\),则有

\\(\\begincases y_0=x_0+ m \\\\ y_0=lnx_0 \\\\ f'(x_0)=\\cfrac1x_0=1\\endcases\\)

从而解得\\(x_0=1,y_0=0,m=-1\\)

所以所求的点点距的最小值,就转化为切点\\(P_0(1,0)\\)到直线\\(x-y=0\\)的点线距,

\\(d=\\cfrac|1-0|\\sqrt1^2+1^2=\\cfrac\\sqrt22\\)

或者两条直线\\(y=x,y=x-1\\)的线线距\\(d=\\cfrac|1-0|\\sqrt1^2+1^2=\\cfrac\\sqrt22\\)课件地址

能成立问题

案例02【原题】已知函数\\(f(x)=x^2 +ax-2\\ge 0\\)在区间 \\([1,5]\\)上能成立,求参数\\(a\\)的取值范围。

【变式1】已知不等式\\(x^2 +ax-2\\ge 0\\)在区间 \\([1,5]\\)上有解,求参数\\(a\\)的取值范围。

【变式2】已知不等式\\(x^2 +ax-2\\ge 0\\)在区间 \\([1,5]\\)上解集不是空集,求参数\\(a\\)的取值范围。

【变式3】已知不等式\\(x^2 +ax-2\\ge 0\\)在区间 \\([1,5]\\)上至少有一个解,求参数\\(a\\)的取值范围。

【变式4】已知命题\\(p\\):对任意\\(x\\in [1,5]\\),不等式\\(x^2 +ax-2< 0\\)在区间 \\([1,5]\\)无实数解,是假命题,求参数\\(a\\)的取值范围。

【法1】:分离参数,得到\\(a≥\\cfrac2x-x\\)在区间\\([1,5]\\)上能成立,

转化为求新函数\\(\\cfrac2x-x\\)\\([1,5]\\)上的最小值。

\\(g(x)=\\cfrac2x-x,g(x)=\\cfrac2x-x\\)在区间 \\([1,5]\\)上单调递减,

所以\\(g(x)_min=g(5)=-\\cfrac235\\),所以\\(a≥-\\cfrac235\\)

\\(a\\)的取值范围是\\([-\\cfrac235,+\\infty)\\)

【法2】:转化为求\\(x\\in [1,5]\\)上的\\(f(x)_max\\ge 0\\)

对称轴是\\(x=-a\\),针对\\(x=-a\\)和给定区间的位置关系分类讨论即可,较繁琐,

①当\\(-a\\leq 1\\)时,即\\(a\\ge -1\\)时,\\(f(x)\\)在区间\\([1,5]\\)单调递增,

\\(f(x)_max=f(5)=5a+23\\ge 0\\),即\\(a\\ge -\\cfrac235\\)

又由于\\(a\\ge -1\\),求交集得到\\(a\\ge -1\\)

②当\\(1<-a<5\\)时,即\\(-5<a<-1\\)时,\\(f(x)\\)在区间\\([1,5]\\)有减有增无单调性,

\\(f(x)_max=maxf(1),f(5)\\)

\\(f(1)=a-1\\)\\(f(5)=5a+23\\)

\\(f(5)-f(1)=4a+24\\in [4,20]\\),即\\(f(5)>f(1)\\)

\\(f(x)_max=f(5)=5a+23\\ge 0\\),即\\(a\\ge -\\cfrac235\\)

求交集得到,\\(-\\cfrac235\\leq a<-1\\)

③当\\(-a\\ge 5\\)时,即\\(a\\leq -5\\)时,\\(f(x)\\)在区间\\([1,5]\\)单调递减,

\\(f(x)_max=f(1)=a-1\\ge 0\\),即\\(a\\ge 1\\)

求交集得到\\(a\\in \\varnothing\\)

综上所述,得到\\(a\\in [-\\cfrac235,+\\infty)\\)

\\(a\\)的取值范围是\\([-\\cfrac235,+\\infty)\\)

【法3】:转化为不等式\\(f(x)=x^2 +ax-2≥0\\)在区间 \\([1,5]\\)上有解,

解法基本同于法2,

①当\\(-a\\leq 1\\)时,必须\\(f(5)\\ge 0\\),解得\\(a\\ge -1\\)

②当\\(1<-a<5\\)时,必须\\(f(5)\\ge 0\\),解得\\(-\\cfrac235\\leq a<-1\\)

③当\\(-a\\ge 5\\)时,必须\\(f(1)\\ge 0\\),解得\\(a\\in \\varnothing\\)

综上所述,得到\\(a\\in [-\\cfrac235,+\\infty)\\)

幂函数

案例03【源题】若\\((2m+1)^\\frac12>(m^2+m-1)^\\frac12\\),求实数\\(m\\)的取值范围。

分析:由于上述不等式依托的函数是\\(y=x^\\frac12\\),在定义域\\([0,+\\infty)\\)上单调递增,

故有\\(\\left\\\\beginarrayl2m+1\\ge 0①\\\\m^2+m-1\\ge 0②\\\\2m+1>m^2+m-1③\\endarray\\right.\\)

解得\\(\\left\\\\beginarraylm\\ge -\\cfrac12①\\\\m\\ge\\cfrac\\sqrt5-12或m\\leq \\cfrac-\\sqrt5-12②\\\\-1<m<2③\\endarray\\right.\\)

求交集得到,\\(\\cfrac\\sqrt5-12\\leq m<2\\)。故\\(m\\in [\\cfrac\\sqrt5-12,2)\\)

【变式1】【无奇偶性】若\\((2m+1)^\\frac14>(m^2+m-1)^\\frac14\\),求实数\\(m\\)的取值范围。

分析:求解过程同上,故\\(m\\in [\\cfrac\\sqrt5-12,2)\\)

【变式2】【无奇偶性】若\\((2m+1)^\\frac12n>(m^2+m-1)^\\frac12n(n\\in N^*)\\),求实数\\(m\\)的取值范围。

分析:求解过程同上,故\\(m\\in [\\cfrac\\sqrt5-12,2)\\)

【变式3】【抽象函数】若函数\\(f(x)\\)的定义域为\\([0,+\\infty)\\),且满足对任意的\\(x_1,x_2\\in [0,+\\infty)\\),都有\\(\\cfracf(x_1)-f(x_2)x_1-x_2>0(x_1\\neq x_2)\\),且满足\\(f(2m+1)>f(m^2+m-1)\\),求实数\\(m\\)的取值范围。

分析:求解过程同上,故\\(m\\in [\\cfrac\\sqrt5-12,2)\\)

恒成立问题

案例04【原题】已知函数\\(f(x)=x^2 +ax-2\\ge 0\\)在区间\\([1,5]\\)上恒成立,求参数\\(a\\)的取值范围。

【变式】\\(\\forall x\\in [1,5]\\),都能使得函数\\(f(x)=x^2 +ax-2\\ge 0\\)成立,求参数\\(a\\)的取值范围。

【常规】法1:二次函数法,由于\\(\\Delta=a^2+8>0\\),故不需要考虑\\(\\Delta<0\\)的情形,

只需要考虑对称轴\\(x=-\\cfraca2\\)和给定区间\\([1,5]\\)的相对位置关系

\\(-\\cfraca2\\leq 1\\)时,即\\(a\\geqslant -2\\)时,函数\\(f(x)\\)在区间\\([1,5]\\)单调递增,

所以\\(f(x)_min=f(1)=1+a-2\\geqslant 0\\),解得\\(a\\geqslant 1\\),又因为\\(a\\geqslant -2\\),所以得到\\(a\\geqslant 1\\)

\\(-\\cfraca2\\ge 5\\)时,即\\(a\\leqslant -10\\) 时,函数\\(f(x)\\)在区间 \\([1,5]\\)单调递减,

所以\\(f(x)_min=f(5)=25+5a-2\\ge 0\\),解得\\(a\\ge -\\cfrac235\\)

又因为\\(a\\leq -10\\),所以得到\\(a\\in\\varnothing\\)

\\(1<-\\cfraca2<5\\),即\\(-10<a<-2\\)时,\\(f(x)min=f(-\\cfraca2)=\\cfraca^24-\\cfraca^22-2≥0\\)

得到\\(a\\in\\varnothing\\)。(这种情形可以省略)

综上可得\\(a\\geqslant 1。\\)\\(a\\)的取值范围是\\([1,+\\infty)\\)

【通法】法2:【恒成立+分离参数法】两边同时除以参数\\(a\\)的系数\\(x\\)(由于\\(x\\in [1,5]\\),不等号方向不变),得到

\\(a\\geqslant \\cfrac2x-x\\)在区间 \\([1,5]\\)上恒成立, 转化为求新函数“\\(\\cfrac2x-x\\)”在\\([1,5]\\)上的最大值。

这时我们一般是定义新函数,令\\(g(x)=\\cfrac2x-x\\)

则利用函数单调性的结论,可以看到\\(g(x)=\\cfrac2x-x\\)在区间 \\([1,5]\\)上单调递减,

所以\\(g(x)_max=g(1)=1\\),所以\\(a\\geqslant 1\\),即\\(a\\)的取值范围是\\([1,+\\infty)\\)

集合关系

案例05【原题】若集合\\(B=\\x\\mid m+1\\leq x\\leq 1-2m \\\\),集合\\(A=\\x\\mid -2\\leq x\\leq 7\\\\),若\\(A\\subsetneqq B\\),求实数\\(m\\)的取值范围。

【变式1】给定命题\\(p:m+1\\leq x\\leq 1-2m\\),命题\\(q:-2\\leq x\\leq 7\\),已知\\(q\\)\\(p\\)的充分不必要条件,求实数\\(m\\)的取值范围。

【变式2】给定命题\\(p:m+1\\leq x\\leq 1-2m\\),命题\\(q:-2\\leq x\\leq 7\\),已知\\(p\\)\\(q\\)的必要不充分条件,求实数\\(m\\)的取值范围。

【变式3】给定命题\\(p:m+1\\leq x\\leq 1-2m\\),命题\\(q:-2\\leq x\\leq 7\\),已知\\(\\neg p\\)\\(\\neg q\\)的充分不必要条件,求实数\\(m\\)的取值范围。

技术图片

分析:自行画出草图可知,先列出条件\\(\\begincases&m+1\\leq-2\\\\&1-2m \\ge 7\\endcases\\),解得\\(m\\leq -3\\)

接下来验证\\(m=-3\\)是否满足题意。

\\(m=-3\\)时,\\(A=[-2,7]\\)\\(B=[m+1,1-2m]=[-2,7]\\),此时\\(A=B\\),不满足题意,舍去,

故实数\\(m\\)的取值范围为\\(\\m\\mid m<-3\\\\)

解后反思:本题目如上处理,则可以避免分类讨论;

函数性质综合

案例06已知函数\\(f(x)=ln(\\sqrtx^2+1+x)\\),且\\(f(x-1)+f(x)>0\\),求\\(x\\)的取值范围;

分析:先求定义域,由于\\(\\sqrtx^2+1\\ge \\pm \\sqrtx^2\\),故定义域为\\((-\\infty,+\\infty)\\)

又由于\\(f(-x)=ln(\\sqrtx^2+1-x)\\),故\\(f(x)+f(-x)=ln1=0\\),故函数为奇函数。

\\(x\\in [0,+\\infty)\\)时,\\(x^2\\nearrow\\)\\(1+x^2\\nearrow\\)\\(\\sqrt1+x^2\\nearrow\\)\\(x+\\sqrt1+x^2\\nearrow\\)

\\(y=ln(x+\\sqrt1+x^2)\\nearrow\\),则由奇函数可知在\\((-\\infty,+\\infty)\\)上,\\(f(x)\\nearrow\\)

故由定义域为\\(R\\),奇函数,单调递增,则由\\(f(x-1)+f(x)>0\\)

得到\\(f(x-1)>-f(x)=f(-x)\\),即\\(x-1>-x\\),解得\\(x>\\cfrac12\\),即\\(x\\in (\\cfrac12,+\\infty)\\)

【变式1】已知奇函数\\(f(x)\\)定义域为\\(R\\),且单调递增,若\\(f(x-1)+f(x)>0\\),求\\(x\\)的取值范围;

【变式2】已知定义在\\(R\\)上的函数\\(f(x)\\)满足\\(f(-x)+f(x)=0\\),且在\\(x\\in [0,+\\infty)\\)上时,恒有\\(f'(x)\\geqslant 0\\)成立,若\\(f(x-1)+f(x)>0\\),求\\(x\\)的取值范围;

【变式3】已知定义在\\(R\\)上的函数\\(f(x)\\)图像关于原点对称,且在\\(x_1,x_2\\in [0,+\\infty)\\)上时,有\\(\\cfracf(x_2)-f(x_1)x_2-x_1>0(x_1\\neq x_2)\\)成立,若\\(f(x-1)+f(x)>0\\),求\\(x\\)的取值范围;

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