模拟测试58

Posted 2022-12-25 hz-rockstar

T1：

　　每个数至多有$2 \sqrtm$个约数，也就是说即使$n$很大，在数集中有倍数的数在$m \sqrta$级别。

　　可以暴力筛出数集中每个数得约数，用hash表维护一下，可实现$O(1)$查询。

　　用$n$减去筛出的数个数即为答案中0的个数，但是注意超过$n$的数要删掉。

　　时间复杂度$O(m \sqrtm)$。

T2：

　　我们发现每个物品的花费很大，价值却很小，于是我们可以将价值做背包，求出每个花费对应的最小代价。

　　然后将询问离线排序，从时间较早的计划做起。

　　将所有商店也排序，从早到晚枚举计划，用单调指针维护当前可以买到东西的商店。　　

　　如果有新的商店加入，就再做一轮背包DP。

　　背包DP同时维护一个花费的后缀最小值，用于二分查询最大的可以获得的价值。

　　时间复杂度$O(n^3+mlogn)$。

T3：

　　最长路即是树上直径。

　　树上直径可以用并查集维护。

　　将两个连通块连接，新的直径一定是由原先两条直径的四点中的两点组成的。

　　在并查集的代表元素上维护直径的两个端点，合并时分6种情况讨论即可。

　　而这六种情况的长度都可以在原树上用lca或树剖求出。　　

　　但是次题还有上界限制，也就是说我们需要分离并查集。

　　用平衡树维护可持久化并查集？

　　考虑类似线段树分治的思路。

　　对于速度值域开一棵线段树，把每条边像线段树区间查询一样加进去，一条边至多被劈成$log(r-l)$段。

　　然后dfs遍历整棵线段树，到一个节点将这个节点的边加上，同时用栈维护加边前并查集的状态。

　　回溯时直接弹栈，将并查集连的边分离即可。

　　由于要维护结构，并查集不能用路径压缩，只能按秩合并。

　　处理出来所有答案，$O(1)$回答询问即可。

　　遍历线段树是$O(n)$的，而每次查询是$O(mlogn)$的，所以不能每次都查询。

　　由于一共有$m$条边，每条边至多被劈成$logn$段，外加并查集的复杂度$O(logn)$，总的时间复杂度为$O(nlog^2n)$。