CF1190E Tokitsukaze and Explosion 二分贪心倍增ST表

Posted 2022-12-24 itst

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最小值最大考虑二分答案，不难发现当最小值\(mid\)确定之后，原点到所有直线的距离一定都是\(mid\)时才是最优的，也就是说这些直线一定都是\(x^2+y^2=mid^2\)的切线。

接下来考虑一个点会被哪些切线所保护。作出这个点到圆的公切线，得到两个切点，那么在这两个切点之间的优弧上选择一个点，以它为切点的切线就可以保护当前点。也就是说能够保护一个点的切线的切点在圆上表现为一段角度的区间。可以用解析几何计算出这个角度的区间。

接下来需要在\([-\pi , \pi]\)上选择不超过\(M\)个点使得所有区间都被包含，但是区间在环上不太好做。考虑断环成链，将每个角度区间复制一份，左右端点均增加\(2\pi\)，这样我们只需要在数轴上选择\(M\)个点满足按照左端点排序之后连续的\(N\)个区间都包含了至少一个点。

设某个方案中选择的数轴上最左边的点能够影响的最左的区间为\(p\)。我们枚举\(p\)，然后贪心地向后选点。设\(f_p\)表示最大的\(r\)满足\([p,r)\)的所有区间有交，这个可以二分+ST表维护。那么我们选点一定会选择将\([p,f_p)\)覆盖，然后就到达了以\(r\)为最左区间的问题。那么如果\(f^M_p=f_f_...f_p \geq p + N\)，那么当前的二分值就是合法的。

我们维护一个倍增数组\(jump_p,x\)表示\(f^2^x_p\)，这样就可以在\(O(logN)\)的复杂度内check以\(p\)为链起点是否满足条件。

值得注意的一个细节是在上述转换之后，在第二步内求出的区间原本因为要在\([-\pi,\pi]\)内所以要拆成两段，但断环成链之后就不需要了。只是右端点可以不在\([-\pi , \pi]\)内，但是左端点一定要在\([-\pi , \pi]\)之内，否则可能出现连续的一段区间中包含了两个来自同一个点的区间的情况。这东西很难拍，下面有一个样例QAQ

6 3
42627 44146
-20187 70146
-37387 7977
-90009 -46598
-31234 -47643
45206 -23994

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