noip专题复习之数学——概率与数学期望

Posted 2022-12-24 iwillenter-top1

1.全概率公式：

将样本分成若干个不相交的部分B1,B2,...,Bn，则P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2） P（B2）+...+P（A|Bn）*P（Bn）。（P（A|B）是指在B事件发生的条件下，事件A发生的概率。

使用全概率公式的关键是“划分样本空间”，只有把所有可能不重不漏地进行分类，并算出每个分类下事件发生的概率，才能得出该事件发生的总概率。

2.数学期望：

简单地说，随机变量X的数学期望EX就是所有可能值按照概率加权的和。

比如一个随机变量有1/2的概率为1,1/3的概率为2，1/6的概率为3，则这个随机变量的数学期望为11/2+21/3+3*1/6=5/3.

（1）期望的线性性质：E(X+Y)=EX+EY。

（2）全期望公式：E(Y)=E(E(Y|X))

（证明需用到微积分，暂时放一放）

例题1：麻球繁衍

题意：有k只麻球，每只活一天就会死亡，临死之前可能会生出一些新的麻球。具体来说，生i个麻球的概率为Pi。给定m,求m天后所有麻球均死亡的概率。注意：不足m天时就已全部死亡的情况也考虑在内。

分析：由于每只麻球独自存活，只需求出一开始只有1只麻球，m天后全部死亡的概率f(m)即可。由全概率公式有：
\[ f(i)=P_0+P_1*f(i-1)+P_2*f(i-1)^2+P_3*f(i-1)^3+...+P_n-1*f(i-1)^n-1 \]
其中Pj*f(i-1)^j的含义是这只麻球生了j个后代，他们在i-1天后全部死亡的概率。

最终答案应为f(m)^k。