Intersection is not allowed!

Posted 2022-12-23 wronin

给出n∗n网格，顶部有k个起点，底部有k个相对应的终点
每次只能向下或向右走
求有多少种从各个起点出发到达对应终点且路径不相交的路径？(对109+7取模)

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n*m空间从左上角走到右下角只走右或者下的方案数位C(n,n+m)

 

首先考虑两个棋子的情况，即一个棋子从a_¹到b₁，另一个棋子从a₂到b₂，不考虑交叉方案数显然是C(b₁-a₁+n-1,n-1) * C(b₂-a₂+n-1,n-1)

对于路径交叉的方案，对于一个a₁->b₂,a₂->b₁的方案，这两条路径必然会相交，

把最后一个交叉点之后的两条路径交换就又对应一个a₁->b₁,a₂->b₂的路径交叉的方案

故我们建立了a₁->b₁,a₂->b₂交叉路径与a₁->b₂,a₂->b₁的方案的一一对应，那么不合法方案数就是C(b₂-a₁+n-1,n-1) * C(b₁-a₂+n-1,n-1)

 

多个棋子的情况，考虑容斥，如果两个路径相交，相当于交换了终点

枚举每个起点的终点，乘上一个容斥系数(−1)^t，t表示相交的路径个数，（也可以看做选择的终点序列的逆序对个数）

按照每个起点选择每一个终点构造出一个组合数的矩阵，按照矩阵的的定义答案就是这个矩阵的行列式

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+7;
const ll mod=1000000007;
int inv[maxn],e[107],s[107],fac[maxn];
ll a[107][107];

ll det(int n) 
    ll ans=1;
    int k=0;
    for(int i=0;i<n;i++) 
        for(int j=i+1;j<n;j++) 
            int x=i,y=j;
            while(a[y][i]) 
                ll t=a[x][i]/a[y][i];
                for(int l=i;l<n;l++) a[x][l]=(a[x][l]-a[y][l]*t)%mod;
                swap(x,y);
            
            if(x!=i) 
                for(int l=0;l<n;l++) swap(a[i][l],a[x][l]);
                k^=1;
            
        
        if(a[i][i]==0) return 0;
        else ans=ans*a[i][i]%mod;
    
    if(k) ans=-ans;
    return (ans+mod)%mod;

void init() 
    inv[0]=inv[1]=1;
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++) 
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,
        inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    
    for(int i=2;i<maxn;i++) inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;

ll C(ll n,ll m) 
    if(m<0) return 0;
    return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;

int main( ) 
    int t;
    cin>>t;
    init();
    while(t--) 
        int n,k;
        cin>>n>>k;
        for(int i=0;i<k;i++) cin>>s[i];
        for(int i=0;i<k;i++) cin>>e[i];
        for(int i=0;i<k;i++) 
            for(int j=0;j<k;j++) 
                a[i][j]=C(n-1+e[j]-s[i],e[j]-s[i]);
            
        
        cout<<det(k)<<endl;
    
    return 0;

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