数论基础总？结？

Posted 2022-12-23 wo-shi-zhen-de-cai

• \\(gcd\\)：

  inline int gcd(int a,int b) return b?gcd(b,a%b):a;

• 扩展欧几里得：求\\(ax+by=gcd(a,b)\\)的一组整数解。

  inline int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
  
    if(!b) x=1,y=0;return a;
    int Gcd=Exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;return Gcd;
  

• 费马小定理：\\(a^p-1\\equiv 1\\mod p\\)（\\(p\\)为质数）

• 欧拉定理（\\(gcd(a,n)\\ne 1\\)）：（無駄？）
  \\[ a^b\\equiv \\left\\\\beginarrayll a^b & b<\\varphi(n)\\\\a^b\\mod\\varphi(n)+\\varphi(n) & b\\geq \\varphi(n)\\endarray\\right.\\mod n \\]

• 欧拉定理（\\(gcd(a,n)=1\\)）：\\(a^\\varphi(n)\\equiv 1\\mod n\\)（無駄？）

• 中国剩余定理（孙子定理）：\\(p_1,p_2,p_3...p_k\\)两两互质，求一下方程组的最小整数解
  \\[ \\left\\\\beginarrayllx\\equiv a_1\\mod p_1\\\\x\\equiv a_2\\mod p_2\\\\...\\\\x\\equiv a_k\\mod p_k\\endarray\\right. \\]
  令\\(P=\\prod p_i\\)，\\(P_i=\\fracPp_i\\)，\\(t_i,P_i\\)满足\\(t_iP_i\\equiv1\\mod p_i\\)。

  所以最小整数解为：\\(x=\\sum a_iP_it_i \\mod P\\)。

  inline int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
  
    if(!b) x=1,y=0;return a;
    int Gcd=Exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;return Gcd;
  
  int main()
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=read(),a[i]=read(),P*=p[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        int Pi=P/p[i],x,y;Exgcd(Pi,p[i],x,y);
        ans=(ans+a[i]*Pi*((x%p[i]+p[i])%p[i]))%P;
    
    printf("%lld",ans);
  

• 扩展中国剩余定理（儿子定理）\\(p_1,p_2,p_3...p_k\\)不一定两两互质，求一下方程组的最小整数解
  \\[ \\left\\\\beginarrayllx\\equiv a_1\\mod p_1\\\\x\\equiv a_2\\mod p_2\\\\...\\\\x\\equiv a_k\\mod p_k\\endarray\\right. \\]
  考虑两个式子：\\(x\\equiv a_1 \\mod p_1,x\\equiv a_2\\mod p_2\\)合并（这里是完整的推导过程）注意不同部分的模数因为其来源可能不同

  可以合并成：\\(x\\equiv a'\\mod m'\\)。其中\\(a'=p_1[inv(\\fracp_1gcd,\\fracp_2gcd)\\fraca_2-a_1gcd\\%\\fracp_2gcd]+a_1,m'=\\fracp_1p_2gcd\\)（\\(gcd=gcd(p_1,p_2),inv(x,y)\\)表示\\(x\\)在模\\(y\\)意义下的逆元，\\(y\\)不一定为质数，所以要用\\(Exgcd\\)求）

  inline int gcd(int x,int b) return b?gcd(b,x%b):x;
  inline int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
  
    if(!b) x=1,y=0;return a;
    int Gcd=Exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;return Gcd;
  
  inline int Inv(int a,int b)int x,y;Exgcd(a,b,x,y);return (x%b+b)%b;
  signed main()
    int Jud=0;n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=read(),a[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++)
    
        int Gcd=gcd(p[i],p[i-1]),Now,p1=p[i-1],p2=p[i],a1=a[i-1],a2=a[i];
        Now=Inv(p1/Gcd,p2/Gcd)%(p2/Gcd);
        Now=(Now*(((a2-a1)/Gcd)%(p2/Gcd))%(p2/Gcd)+(p2/Gcd))%(p2/Gcd);
        Now=((Now%(p2*p1/Gcd)*p1%(p2*p1/Gcd))%(p2*p1/Gcd)+(p2*p1/Gcd))%(p2*p1/Gcd);
        Now=(Now%(p2*p1/Gcd)+a1%(p2*p1/Gcd))%(p2*p1/Gcd);
        p[i]=p2*p1/gcd(p2,p1); a[i]=(Now%p[i]+p[i])%p[i];
    
    print(Jud?-1:a[n]);
  

• \\(BSGS\\)：求\\(A^x\\equiv B\\mod C\\)的\\(x\\)。（满足\\(gcd(A,C)=1\\)）

  设\\(m=\\sqrtC\\)，令\\(x=am+b\\)，所以有\\(A^am\\equiv A^bB\\mod C\\)，预处理\\(A^b\\)，暴力枚举\\(a\\)即可。

  int m=sqrt(C)+1,now=1;
  for(int i=0;i<m;i++)mp[(now*B)%C]=i,now=((now%C)*(A%C))%C;
  k=((k%C)*(now%C))%C;
  for(int i=1;i<=m;i++)
  
      if(mp[k]) return ((i%C)*(m%C)-mp[k]+C)%C;
      k=((k%C)*(now%C))%C;
  

• 扩展\\(BSGS\\)：求\\(A^x\\equiv B\\mod C\\)的\\(x\\)。（不一定满足\\(gcd(A,C)=1\\)）

  令\\(d=gcd(A,C)\\)，则我们可以除掉\\(d\\)，原始变为\\(\\fracAdA^x-1\\equiv \\fracBd\\mod \\fracCd\\)，不断检查\\(gcd(\\fraczd,y)\\)，一直除到互质为止，最后将减掉的补回来就行了。

  inline int EXBSGS(int A,int B,int C) 
  
    int cnt=0,d,k=1;
    while((d=gcd(A,C))^1)
    
        if(B%d) return -1;
        B/=d;C/=d;++cnt;
        k=(k*(A/d))%C;
        if(k==B) return cnt;
    
    mp.clear();int m=sqrt(C)+1,now=1;
    for(int i=0;i<m;i++) mp[(now*B)%C]=i，now=(now*A)%C;
    k=(k*now)%C;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        if(mp[k]) return (cnt+i*m-mp[k]+C)%C;
        k=(k*now)%C;
    
    return -1;
  

• 线性筛：（不多讲，直接上）

  inline void Make_Prime(int T)
  
      Vis[1]=1;
      for(int i=2;i<=T;i++)
      
          if(!Vis[i]) Pri[++Cnt]=i;
          for(int j=1;j<=Cnt&&i*Pri[j]<=T;j++)
          
              Vis[i*Pri[j]]=1;
            if(!(i%Pri[j])) break;
          
      
  

• \\(Miller\\) \\(Rabin\\)：

  前置定理：费马小定理，二次探测：若\\(a^2\\equiv 1\\mod p\\)且\\(p\\)为质数，则\\(a\\equiv1\\)或\\(p-1\\mod p\\)。

  假设我们判定\\(x\\)，将其拆为\\(x=2^kt\\)形式，随即一个\\(a\\)并求出\\(a^t\\)，然后依次将\\(2\\)乘上去，用二次探测即可。

  最好我们多测几次\\(Miller\\) \\(Rabin\\)。

  int Tex[4]=2,3,5,7;
  inline int ksm(int b,int k,int p)
  
    int a=b; k--;
    while(k)
    
        if(k&1) a=(a%p*b%p+p)%p;
        b=(b%p*b%p+p)%p;k>>=1;
    
    return a%p;
  
  inline bool Miller_Rabin(int x)
  
    if(x==1) return 0;
    int Now=x-1,k=0;
    while(!(Now&1)) Now>>=1,k++;
    for(int i=0;i<4;i++)
    
        int a=ksm(Tex[i],Now,x)%x,Nex=a;
        if(x==Tex[i]) return 1;
        for(int j=1;j<=k;j++)
        
            Nex=(a%x*a%x+x)%x;
            if(Nex==1&&a!=1&&a!=x-1) return 0;
            a=Nex;
        
        if(a!=1) return 0;
    
    return 1;
  

• \\(Lucas\\)：懒得证明了，记着：\\(n \\choose m\\%p=n\\%p \\choose m\\%p*n/p \\choose m/p\\%p\\)

  inline int ksm(int b,int k)
  
    int a=b;k--;
    while(k)
    
        if(k&1) a=(a%p*b%p)%p;
        b=(b%p*b%p)%p;k>>=1;
    
    return a%p;
  
  inline int C(int n,int m)
  
    if(m>n) return 0;
    return (Fac[n]%p*ksm((Fac[m]%p*Fac[n-m]%p)%p,p-2)%p)%p;
  
  inline int Lucas(int n,int m)
  
    if(!m) return 1;
    return (C(n%p,m%p)%p*Lucas(n/p,m/p)%p)%p;
  

至此，一些常用的数论基础都在这儿了，还有什么后面再补。