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Posted 2022-12-22 ljc20020730

~~ 话说，本题考场想出三只\(log\)的暴力做法，被卡成暴力了。~~

题目分析

首先考虑枚举每一个点，计算这个点可以和多少点进行交易。

将所有经过该点的路径\(s,t\)拿出，那么这些极远的\(s,t\)构成的连通块大小\(sz - 1\)就是答案。

由\(Codeforces\)的\(异象石\)那题可以想到，若一些点集按照\(dfs\)序排序，那么这些点构成连通块大小就是

\(\frac12 (dist(a_1 , a_2) + dist(a_2,a_3) + ... + dist(a_k-1 , a_k) + dist(a_k,a_1))\)

考虑对于每一个节点开一棵线段树，其叶子节点\(i\)表示\(dfs\)序为\(i\)的极远点出现次数。

线段树中存储\(3\)个值\(lp,rp,Sum\)分别表示当前存在的大于\(0\)的最小下标和最大下标，和不算头尾的连通块大小。

由于路径条数为\(m\)，显然我们可以用可持久化线段树来维护这\(n\)棵线段树，使得空间复杂度为\(O(m log_2 n)\)

利用树上差分的思想，对于每一条\(s,t\)的路径，我们先在\(s\) 和\(t\)所在的线段树中将\(dfn[s]\)和\(dfn[t]\)两个点单点\(+1\)

然后在\(father(lca(s,t))\)的节点，将\(dfn[s]\)和\(dfn[t]\)两个点单点\(-2\)。

于是，我们可以自下往上去统计每个节点的答案。

每一次，我们需要对该节点的所有子树进行线段树合并,然后询问这个节点的答案，将其累加进总个数中。

这样，我们就完成了无序数对的统计，那么此时答案除以\(2\)就是最终的答案。

复杂度分析

由于\(n\)次线段树合并节点总数是\(m\)个，所以需要时间复杂度为\(O(m log_2 n)\)

由于\(m\)次线段单点修改，使用\(O(1)\)的\(LCA\)实现，所以需要时间复杂度为\(O(m log_2 n)\)

所以，本题的总时间复杂度就是\(O(m log_2 n)\)