CSPS模拟 59

Posted 2022-12-22 yxsplayxs

　　经ooo提醒咕题解会掉rp

　　我反正也冒着改不完题的风险，就开始颓博了

　　话说好久没这么舒坦的垫过底了233

　　

　　上来一看T1，立刻就转化题意为有奇偶性和距离限制的bfs

　　然后就没考虑子串不能越过母串边界的事，当成单调队列裸题做了..

　　由于能力有限，连单调队列都调了很久

　　大样例过不去，还坚信是大样例错了

　　最后发现自己伪了，结果心态直接爆炸

　　觉得自己这场完了，甚至没有再考虑一下T1能拿57的$n^2$暴力

　　三道题都打了指数暴力+一些无脑qj

　　T1指数还挂了233

　　

　　怎么说呢，算上昨天的内存爆炸，我这两天可以说是相当的没状态

　　也许是对自己的期望过高了

　　而且看见没思路的题就容易炸心态

　　害怕调暴力浪费时间，其实是好高鹜远想直接拿100（然而这次这种策略失败了

　　暴力该打还是要打的，至少能拿>40分的暴力值得一打

　　如果正解没思路则必须打，可能会成为想到正解的灵感啥的，可以稳住心态和节省对拍暴力

　　我这么劝自己都劝了多少次了

　　

　　T1 Reverse

　　　　注意子串只能是母串的一部分

　　　　所以bfs时会受到两种限制

　　　　set保证复杂度

　　T2 Silhouette

　　　　神仙的容斥原理。

　　　　考虑将两个限制排序，从大到小计算。

　　　　为什么是从大往小，因为题目限制了最大值，所以每行每列后续可以无限制地放置较小的数，但不能放置更大的数

　　　　也就是说先计算的不会受到后计算的限制

　　　　

　　　　发现排序后面临这样一个子问题：给定一个区域，保证其每行每列的最大值都为一个定值S的方案数

　　　　发现这个区域一定是矩形和L形

 

　　　　考虑一个$a*b$的矩形，我们要求出$g(0)=恰好有0行的最大值达不到S的方案数$

　　　　考虑容斥，设$f(i)=至少有i行的最大值达不到S的方案数$

　　　　由于按行容斥，我们必须保证每一列必须合法

　　　　对于这个矩形，每一列又是等效的

　　　　$f(i)=\sum \limits_i=0^a C_a^i * (S^i * ((S+1)^a-i - S^a-i ))^b$

　　　　组合数的意义是钦定哪些行一定不合法，由于可以选0，S的i次幂表示这一列的那i行一定不能选到S，S+1的次幂表示可以选到S

　　　　那么$(S+1)^i - S^i$表示这一列至少选到了一个S，由此保证了此列一定合法

　　　　又因为保证了有i行选不到S，剩下的行不确定，所以保证了至少i行不合法。

 

　　　　则$g(0)=\sum\limits_k=0^a (-1)^k * f(k)$

　　　　为什么不是$g(0)=f(0)-f(1)$?

　　　　考虑计算$f$时，你乘上的系数$C_a^i$

　　　　这代表你的f是 钦定一个大小为i的集合的行不合法，其余乱选不确定和不合法 的方案和

　　　　每个集合被平等地计算，那么对于一个$j$行不合法的方案数$(j>i)$,他在这个f里被计算了$C_j^i$次

　　　　我们要使所有大于0的$j$都被计算0次，观察在每个i里被计算的次数

　　　　$　　i　　time(eg：3)$

　　　　$　　0　　C_3^0 = 1　　$

　　　　$　　1　　C_3^1 = 3　　$

　　　　$　　2　　C_3^2 = 3　　$

　　　　$　　3　　C_3^3 = 1　　$

　　　　$(-1)^k$的系数是不是比较显然

　　　　用二项式定理也挺好证明的

　　　　
　　　　考虑拓展到L形，L形的特点就是伸出去的两条线所在的行/列的lim一定大于此时的S

　　　　也就是：那些行/列在之前已经被满足，不必强迫他们必须选到S

　　　　所以我们容斥时，只需要枚举交集部分矩形的行数（只有他们可能非法），而计算横向伸出去的方案数时也不必保证此列选到S，所以柿子成了

　　　　$f(i)=\sum\limits_i=0^a C_a^i * (S^i*((S+1)^a+c-i-S^a+c-i))^b * (S^i * (S+1)^a-i)^d$

　　　　设交集部分为a行b列，向上伸出c行，向右伸出d列

 

　　　　然后这题就没了，由于每一行只会被枚举到一次，快速幂需要log，总复杂度$nlogn$