模拟测试57

Posted 2022-12-22 hz-rockstar

T1：

　　贴心送分题。

　　对于每种颜色，如果多了，就会有多的数量除二的贡献，反之会有少的数量的需求。

　　最后判断贡献和需求哪个大即可。

　　时间复杂度$O(1)$。

T2：

　　边数太多，考虑将状态记录在点上。

　　每一种可行方案是一个dag，可以按照拓扑序列分层。

　　状态记录当前选中的集合，和最后一层的点的集合，然后枚举状态更新即可。

　　更新时算出当前集合向拓展集合连的边数，每个点至少要有一条入边。

　　考虑优化，省去第二维状态。

　　枚举补集的子集，算出当前集合向拓展集合连的边数，每条边都可以连或不连。

　　但是这样会算重，因为每次算出的方案并不一定能连接拓展集合的所有点。

　　根据点数容斥一下，奇加偶减即可。

　　注意枚举子集的内部不能再用循环算边数，从小到大枚举子集，做一个小的递推即可。

　　时间复杂度$O(3^n+m2^n)$

T3：

　　莫比乌斯反演神题。

　　$lcm$大于$n$的数对数不好求，考虑求$lcm$小于$n$的数对数。

　　设这样求出的数对数为$res$，那么答案可以表示为：

　　　　$ans=n^2-res$

　　考虑求$res$：

　　　　$\large \beginarrayll res &=& \sum \limits_i=1^n \sum \limits_j=1^n [lcm(i,j)<=n] \\ &=& \sum \limits_d=1^n \sum \limits_i=1^\lfloor \fracnd \rfloor \sum \limits_j=1^\lfloor \fracnid \rfloor [gcd(i,j)==1]*[ijd<=n] \\ &=& \sum \limits_d=1^n \sum \limits_i=1^\lfloor \fracnd \rfloor \sum \limits_j=1^\lfloor \fracnid \rfloor \sum \limits_g|gcd(i,j) \mu(g) *[ijd<=n] \\ &=& \sum \limits_d=1^n \sum \limits_g=1^\lfloor \sqrt \fracnd \rfloor \mu(g) \sum \limits_i=1^\lfloor \fracndg^2 \rfloor \sum \limits_j=1^\lfloor \fracnidg^2 \rfloor [ijdg^2<=n] \\ &=& \sum \limits_g=1^\sqrtn \mu(g) \sum \limits_d=1^\lfloor \fracng^2 \rfloor \sum \limits_i=1^\lfloor \fracndg^2 \rfloor \sum \limits_j=1^\lfloor \fracnidg^2 \rfloor [ijdg^2<=n]\endarray$

　　发现$d$，$i$，$j$并没有本质区别，于是我们可以假定$d<=i<=j$，然后再乘上排列数。

　　于是上界可以卡的更小。

　　$d$，$i$，$j$中两个数相等，排列数为3；三个数都相等，排列数为1；三个数都不等，排列数为6。

　　　　$\large \beginarrayll res &=& \sum \limits_g=1^\sqrtn \mu(g) \sum \limits_d=1^\lfloor \sqrt[3]\fracng^2 \rfloor \sum \limits_i=d^\lfloor \sqrt\fracndg^2 \rfloor \sum \limits_j=i^\lfloor  \fracndig^2\rfloor [ijdg^2<=n] \\ &=& \sum \limits_g=1^\sqrtn \mu(g) \sum \limits_d=1^\lfloor \sqrt[3]\fracng^2 \rfloor \sum \limits_i=d^\lfloor \sqrt\fracndg^2 \rfloor (\lfloor \fracndig^2 \rfloor -i)*(3*[d==i]+6*[d!=i]) + ([d==i]+3*[d!=i])\endarray$

　　线性筛求莫比乌斯函数，然后枚举计算即可。

　　时间复杂度约为$O(n^\frac23)$